## [División de Polinomios](/es/node/63357) Definición El algoritmo que, dada una polinomio dividendo y un divisor polinómico no nulo sobre un dominio de coeficientes, produce un cociente polinómico y un resto polinómico cuyo grado es estrictamente menor que el del divisor, siempre que el dominio de coeficientes permita invertir los coeficientes principales (p. ej., un cuerpo). ## Principio Principio Sustraer múltiplos escalares sucesivos del divisor para cancelar los términos de mayor grado del dividendo; la invertibilidad de los coeficientes principales en el anillo de coeficientes garantiza existencia y unicidad de cociente y resto, y la disminución del grado en cada paso asegura la terminación sobre cuerpos. ## Demostración Demostración Sobre un cuerpo, dividir x^3 - 1 entre x - 1: x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) + 0, por tanto cociente x^2 + x + 1 y resto 0. Este procedimiento sustenta pruebas de raíces y el cálculo del mcd de polinomios mediante el algoritmo euclidiano para F[x]. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar el algoritmo de división estándar en anillos de coeficientes donde los coeficientes principales no son invertibles y esperar unicidad; confundir división polinómica con factorización en irreducibles o tratar la división de series formales de idéntica manera sin considerar convergencia o términos infinitos. ## Consecuencia Consecuencia Cuando es válido, produce un cociente y resto canónicos que permiten pruebas de raíces mediante restos, cálculos iterativos de mcd, preparación de fracciones parciales y reducciones modulares en aritmética polinómica. ## Inversión Inversión En lugar de dividir, se puede componer o multiplicar polinomios de menor grado para construir polinomios de grado superior, transformando problemas de reducción en síntesis constructiva de polinomios. ## Límite Límite La división estándar con cociente y resto únicos se mantiene en anillos de polinomios sobre cuerpos (y, en general, sobre anillos donde sea posible invertir el coeficiente principal); sobre anillos conmutativos arbitrarios debe usarse pseudo-división o control de contenido, y las series formales requieren métodos de series infinitas. ## Tensión semántica Tensión semántica A menudo se confunde con pseudo-división, la división euclidiana en anillos de coeficientes no cuerpos u operaciones sobre series formales; existe tensión entre la división algebraica exacta y la división analítica/con series divergentes. ## Síntesis Síntesis La división de polinomios es el algoritmo finito que elimina los términos de mayor grado por sustracción escalada del divisor, produciendo cociente y resto de grado estrictamente menor cuando los coeficientes permiten invertir los términos dominantes; es el núcleo mecánico de los mcd polinómicos y las pruebas de raíces.