## [Cierre Integral](/es/node/63347) Definición El subobjeto obtenido al adjoinar a un subanillo (o subálgebra) todos los elementos del anillo contenedor que satisfacen un polinomio mónico con coeficientes en el subanillo; en otras palabras, el conjunto de elementos integrales sobre el subanillo. ## Principio Principio Se añaden exactamente aquellos elementos que son raíces de polinomios mónicos con coeficientes en la base; la dependencia integral es una condición algebraica finita, caracterizada por la existencia de dichas relaciones mónicas y estable por suma y producto. ## Demostración Demostración Para el subanillo k[x^2,x^3] de k[x], el cierre integral en k[x] es k[x] porque x satisface la relación mónica t^2 - x^2 = 0 sobre k[x^2,x^3]; en teoría de números, el cierre integral de Z en un campo numérico da su anillo de enteros. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Adjoinar soluciones de polinomios arbitrarios (no mónicos) o elementos algebraicos sin verificar integridad; confundir cierre integral con cierre algebraico o con cierre radical conduce a inclusiones incorrectas. ## Consecuencia Consecuencia El cierre integral produce un objeto integralmente cerrado (normal) en el anillo ambiente; la integridad controla finitud y el ascenso/descenso de propiedades y es central en procesos de normalización y resolución parcial de singularidades. ## Inversión Inversión La idea inversa es restringir a elementos integrales solo en extensiones menores o conservar un subanillo generado por elementos no integrales, con lo que se pierde la propiedad de estar integralmente cerrado y pueden reaparecer singularidades. ## Límite Límite El cierre integral depende del anillo ambiente: un elemento puede ser integral en una sobreanillo y no serlo en otro. La existencia y la finitud del cierre integral requieren hipótesis (por ejemplo, noetheriano, de tipo finito) para la finitud; el cierre integral no es en general functorial ante morfismos arbitrarios. ## Tensión semántica Tensión semántica El cierre integral compite con el cierre radical y el cierre algebraico: el cierre integral trata relaciones mónicas sobre la base, el cierre radical trata la toma de raíces de potencias, y el cierre algebraico la dependencia algebraica sin la condición mónica —nociones relacionadas pero distintas. ## Síntesis Síntesis El cierre integral recoge exactamente aquellos elementos de un anillo ambiente que satisfacen relaciones mónicas sobre un subanillo dado, produciendo una ampliación integralmente cerrada clave para la normalización, el estudio de singularidades y las cuestiones de finitud.