## [Automorfismo Interno](/es/node/63328) Definición Un automorfismo dado por conjugación por un elemento invertible fijo de la estructura ambiente: para un grupo G y a ∈ G invertible, la aplicación φ_a(g)=a g a^{-1} es un automorfismo interno. ## Principio Principio Los automorfismos internos son las simetrías realizadas por los propios elementos del objeto actuando por conjugación; forman un subgrupo normal Inn(A) del grupo completo de automorfismos Aut(A). ## Demostración Demostración En un grupo G, la aplicación g ↦ a g a^{-1} para un a fijo en G es un automorfismo interno; en un anillo unital o en una álgebra, x ↦ u x u^{-1} para una unidad u es un automorfismo interno de la estructura multiplicativa (compatible con la suma cuando procede). ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Llamar 'interno' a la conjugación por un elemento no invertible o no comprobar que el elemento de conjugación pertenece al grupo de unidades correspondiente; también tratar erróneamente todo automorfismo como interno cuando pueden existir automorfismos externos. ## Consecuencia Consecuencia Los automorfismos internos capturan simetrías relacionadas con la conjugación y determinan propiedades de normalidad; Inn(A) es normal en Aut(A) y el cociente Out(A)=Aut(A)/Inn(A) mide las simetrías externas no realizadas internamente. ## Inversión Inversión Un automorfismo externo es uno que no se puede representar por conjugación; invertir la condición aísla simetrías que requieren una extensión o un renombrado más allá de la conjugación interna. ## Límite Límite Se aplica sólo donde la conjugación por elementos invertibles está definida (grupos, anillos con unidad, grupos de unidades de álgebras); no todas las categorías admiten la distinción interno/externo, y en algunos contextos 'interno' puede requerir ajustes centrales. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión con 'automorfismo' en general: todos los automorfismos internos son automorfismos pero no al revés; también existe tensión entre la acción interna sobre objetos y las clases de conjugación, así como con los automorfismos centrales que actúan trivialmente sobre la estructura de conmutadores. ## Síntesis Síntesis Un automorfismo interno es una simetría realizada por conjugación con un elemento invertible de la estructura, que forma un subgrupo normal característico de Aut y organiza las simetrías por conjugación mientras deja un cociente que mide los automorfismos genuinamente externos.