##  [Homomorfismo](/es/node/63323) 

 Definición

Una aplicación que preserva la estructura entre dos objetos algebraicos (por ejemplo grupos, anillos, módulos o espacios vectoriales) y que conmuta con las operaciones definitorias: para una operación •, f(x •_A y) = f(x) •_B f(y).

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Un homomorfismo debe trasladar las leyes algebraicas de la fuente a leyes correspondientes en el codominio al conmutar con cada operación relevante.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Un homomorfismo de grupos f: G → H satisface f(xy)=f(x)f(y); una aplicación lineal entre espacios vectoriales preserva la suma y la multiplicación por escalares y por tanto es un homomorfismo de módulos.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Llamar homomorfismo a una función cualquiera sin verificar la preservación de las operaciones (por ejemplo, una aplicación entre grupos con f(ab) ≠ f(a)f(b)), u omitir la compatibilidad con la unidad o los escalares cuando el contexto lo exige.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Las imágenes de homomorfismos son subestructuras del codominio; los núcleos miden la falta de inyectividad; los homomorfismos inducen estructuras cociente y permiten resultados de clasificación y factorización.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Un antihomomorfismo invierte el orden de una operación binaria (p. ej. f(ab)=f(b)f(a)); tales aplicaciones no preservan la operación original sino que invierten el orden de composición.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Homomorfismo se refiere únicamente a la preservación de las operaciones algebraicas explícitas; no implica por sí mismo biyectividad, continuidad, compatibilidad topológica, gradación u otras estructuras adicionales salvo que se especifiquen.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

A menudo se confunde con isomorfismo: ambos preservan la estructura, pero el isomorfismo exige una inversa en ambos sentidos; también se confunde con una simple función de conjuntos que solo es homomorfismo en ciertos puntos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un homomorfismo es una aplicación que preserva las operaciones entre objetos algebraicos, trasladando relaciones y operaciones al codominio y posibilitando la construcción de imágenes, núcleos y cocientes sin requerir invertibilidad.