## [Semigrupo](/es/node/63321) Definición Conjunto provisto de una operación binaria asociativa; un semigrupo no necesita poseer elemento identidad ni inversos para sus elementos. ## Principio Principio La regla organizadora es la asociatividad: para todo a,b,c se cumple (a·b)·c = a·(b·c). Se admite la ausencia de identidad e inversos; la teoría estructura estudia ideales, las relaciones de Green y los idempotentes con este conjunto mínimo de axiomas. ## Demostración Demostración Los enteros positivos estrictos (excluyendo el 0) con la suma forman un semigrupo, porque la suma es asociativa pero el conjunto no contiene elemento neutro; asimismo, las palabras no vacías sobre un alfabeto con la concatenación forman un semigrupo si se excluye la palabra vacía. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer la existencia de identidad, inversos, cancelatividad o descomposiciones tipo grupo sin verificar los axiomas; esto conduce a manipulaciones algebraicas erróneas o a creer falsamente que se pueden adosar inversos sin alterar propiedades. ## Consecuencia Consecuencia Los semigrupos dan el contexto algebraico mínimo para estudiar la composición iterada y son fundamentales en teoría de autómatas, combinatoria de palabras y en la construcción de monoides por adición de identidad; modelan dinámicas no invertibles. ## Inversión Inversión Agregar la exigencia de un elemento identidad produce un monoide; exigir además inversos para cada elemento produce un grupo. Eliminar la asociatividad genera un magma, que carece de la regularidad estructural propia del semigrupo. ## Límite Límite Los semigrupos excluyen operaciones parciales y suelen asumir una operación binaria total; no requieren conmutatividad ni topología, y subclases específicas (semigrupos inversos, bandas) imponen condiciones adicionales. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre la terminología semigrupo y monoide (algunos textos permiten identidad en la definición) y entre magma, semigrupo y composiciones en teoría de categorías; el contexto aclara los axiomas vigentes. ## Síntesis Síntesis Un semigrupo es el núcleo asociativo de la composición algebraica: con solo una operación binaria asociativa modela la combinación repetida sin presumir identidad ni inversos, sirviendo de base para estructuras algebraicas más complejas.