## [Grupo Libre](/es/node/63317) Definición Un grupo generado por un conjunto S sin relaciones salvo las impuestas por los axiomas de grupo: los elementos son palabras reducidas en S ∪ S^{-1} y la multiplicación es concatenación seguida de reducción libre; caracterizado también por una propiedad universal respecto a aplicaciones desde S. ## Principio Principio La libertad en teoría de grupos significa que los generadores sólo están sujetos a los axiomas de grupo y no a relaciones adicionales; la propiedad universal afirma que cualquier aplicación de S a un grupo G se extiende de forma única a un homomorfismo desde el grupo libre sobre S hacia G. ## Demostración Demostración Dado un conjunto S, el grupo libre F(S) puede realizarse como clases de equivalencia de palabras reducidas en símbolos de S y sus inversos formales, con concatenación y cancelación: por ejemplo, F({a,b}) contiene palabras como a b^{-1} a a, y los homomorfismos desde F({a,b}) están determinados por las imágenes de a y b. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir grupos libres con grupos abelianos libres (estos últimos imponen conmutatividad), o asumir que la ausencia de relaciones en una presentación implica independencia algebraica en todos los contextos; no reducir correctamente palabras conduce a afirmaciones de igualdad erróneas. ## Consecuencia Consecuencia Los grupos libres son bloques constructivos en la teoría combinatoria y geométrica de grupos: sustentan presentaciones de grupos, construcciones universales, acciones en recubrimientos y muestran cómo las relaciones imponen restricciones al tomar cocientes del grupo libre. ## Inversión Inversión Un grupo presentado con relaciones es el cociente de un grupo libre por el cierre normal de las relaciones especificadas; imponer suficientes relaciones puede colapsar la libertad hasta un grupo trivial o muy restringido. ## Límite Límite Se aplica en la categoría de grupos (no abelianos por defecto); la noción cambia al forzar la abelianización (grupo abeliano libre) o al trabajar en otras categorías algebraicas donde la libertad tiene significados formales distintos. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre las nociones libre y libre abeliano y entre la libertad algebraica y las interpretaciones geométricas/topológicas (por ejemplo, los grupos fundamentales de grafos son libres); también hay tensión en grupos libres de rango infinito respecto a bases y grupos de automorfismos. ## Síntesis Síntesis Un grupo libre sobre un conjunto S es el grupo más general generado por S sin relaciones distintas de los axiomas de grupo: sus elementos son palabras reducidas, satisface una propiedad universal y sirve como punto de partida para construir grupos imponiendo relaciones (cocientes).