## [Módulo Libre](/es/node/63315) Definición Un módulo que admite una base: es isomorfo a una suma directa (posiblemente infinita) de copias de su anillo de coeficientes R, con un conjunto distinguido de elementos (una base) tal que todo elemento se expresa de manera única como combinación lineal R-fina de elementos de la base. ## Principio Principio Libertad = existencia de un conjunto generador libre con expresiones lineales finitas y únicas; equivalentemente, el módulo es isomorfo a R^{(I)} para algún conjunto índice I, de modo que las aplicaciones desde un módulo libre quedan determinadas por las imágenes de la base. ## Demostración Demostración R^n con los vectores canónicos e1,…,en es un R-módulo libre de rango n. Para R=Z, Z^I (sumas directas finitas) son grupos abelianos libres; la base canónica proporciona coordenadas y propiedades universales de factoración. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que los submódulos de módulos libres son libres sobre anillos arbitrarios (esto es cierto en dominios de ideales principales pero falla en general), o suponer que todos los módulos proyectivos son libres sin comprobar condiciones sobre el anillo. ## Consecuencia Consecuencia Los módulos libres simplifican problemas lineales: las bases proporcionan coordenadas, los cálculos de Hom se reducen a tuplas y las propiedades universales hacen explícitas las construcciones; la libertad implica proyectividad y planitud pero es más fuerte que la proyectividad en muchos anillos. ## Inversión Inversión Un módulo proyectivo generaliza la libertad al escindir sucesiones exactas, pero un módulo proyectivo no tiene por qué admitir base; en ciertos anillos (por ejemplo cuerpos o dominios principales) proyectivo y libre coinciden. ## Límite Límite La definición presupone un anillo con unidad y combinaciones lineales finitas de elementos de la base; excluye módulos que sólo se generan 'genéricamente' o que requieren combinaciones lineales infinitas sin condición de finitud, y distingue situaciones no conmutativas donde importa el lado de acción. ## Tensión semántica Tensión semántica La tensión se da entre las nociones libre, proyectivo y plano: todo módulo libre es proyectivo y plano, pero la recíproca puede fallar; también hay tensión en rangos infinitos entre representaciones como suma directa frente a producto directo. ## Síntesis Síntesis Un módulo libre es un módulo provisto de una base, isomorfo de manera concreta a una suma directa de copias de su anillo; proporciona coordenadas y propiedades universales que hacen explícitas muchas construcciones algebraicas, siendo una condición más fuerte que la proyectividad.