## [Anillo de Polinomios](/es/node/63309) Definición El anillo de polinomios en una o varias indeterminadas sobre un anillo o cuerpo de base R, denotado R[x], R[x1,...,xn], formado por combinaciones lineales finitas sobre R de monomios en las indeterminadas. ## Principio Principio Los polinomios constituyen la R-álgebra conmutativa libre sobre un conjunto de indeterminadas: las expresiones son sumas finitas de coeficientes por monomios, con suma y producto dados por distributividad. ## Demostración Demostración k[x] es el anillo de polinomios en una variable sobre un cuerpo k; k[x,y] contiene sumas finitas a_{ij} x^i y^j. Si R es noetheriano, entonces R[x] es noetheriano (teorema de Hilbert). ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir anillo de polinomios con el anillo de funciones polinómicas sobre un campo finito: polinomios distintos pueden definir la misma función, y las series formales difieren esencialmente de los polinomios. ## Consecuencia Consecuencia Los anillos de polinomios proporcionan anillos de coordenadas para variedades afines, permiten algoritmos basados en el grado (división, bases de Gröbner sobre cuerpos) y son ejemplos prototipo en álgebra. ## Inversión Inversión Los anillos de series formales R[[x]] admiten sumas infinitas y tienen propiedades de completación y convergencia muy distintas; las álgebras libres en variables no conmutativas difieren de los anillos de polinomios conmutativos. ## Límite Límite Normalmente se refiere a polinomios conmutativos en indeterminadas conmutativas sobre un anillo base con unidad; excluye álgebras libres no conmutativas, cuerpos de funciones racionales y series formales a menos que se indique. ## Tensión semántica Tensión semántica Anillo de polinomios vs anillo de funciones polinómicas: el primero es un objeto algebraico formal, el segundo un conjunto de funciones sobre un dominio; sobre campos infinitos coinciden como aplicaciones pero no siempre como objetos algebraicos. ## Síntesis Síntesis Un anillo de polinomios es la álgebra de combinaciones lineales finitas de monomios en indeterminadas con coeficientes en un anillo base; es la álgebra conmutativa libre en variables y sustenta muchas construcciones algebraicas y geométricas.