##  [Ideal Primo](/es/node/63306) 

 Definición

Un ideal propio P de un anillo conmutativo R tal que si a·b ∈ P entonces a ∈ P o b ∈ P; equivalente: R/P es un dominio íntegro.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La primalidad impone indecomposibilidad multiplicativa a nivel de ideales: los productos que caen en P obligan a que al menos un factor pertenezca a P, eliminando los divisores de cero en el cociente.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

En Z, el ideal (p) generado por un primo p es primo y Z/(p) es un cuerpo, luego un dominio íntegro. En k[x,y], (x) es primo porque k[x,y]/(x) ≅ k[y] es dominio.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que todo ideal primo es maximal: eso se cumple en dominios de ideales principales o en anillos de dimensión uno, pero en general no es cierto.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Cocientar por un ideal primo produce un dominio íntegro; los ideales primos corresponden a componentes geométricas irreducibles y controlan la localización.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Un ideal propio no primo puede contener productos sin que los factores estén en él; su cociente tiene divisores de cero y no es un dominio íntegro.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Los ideales primos son, por definición, propios; el ideal cero puede ser primo en un dominio. En anillos no conmutativos existen varias nociones no equivalentes de primalidad.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Ideal primo vs elemento irreducible: los ideales primos generalizan a los elementos primos, pero un elemento primo genera un ideal primo sólo bajo condiciones de factorización; confundirlos mezcla perspectivas distintas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un ideal primo es un ideal propio que detecta la descomposición multiplicativa: obliga a que factores de productos pertenezcan a él y da un cociente que es dominio íntegro, siendo un bloque básico en la estructura algebraica y geométrica.