## [Ideal](/es/node/63305) Definición Un subconjunto I de un anillo R cerrado por suma y por multiplicación por elementos arbitrarios de R (r·i y i·r pertenecen a I); en anillos conmutativos eso se expresa como r·i ∈ I para todo r∈R, i∈I. ## Principio Principio Un ideal abstrae la noción de un subconjunto tipo núcleo que es estable bajo las operaciones del anillo, posibilitando la construcción del cociente R/I con operaciones bien definidas. ## Demostración Demostración En Z, nZ (los múltiplos de n) es un ideal; en k[x], (f) es el conjunto de todos los múltiplos de un polinomio f, un ideal principal generado por f. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir ideal con subanillo: un ideal no tiene por qué contener la unidad 1 y, por lo general, no está cerrado por la multiplicación interna salvo que eso siga de la multiplicación del anillo. ## Consecuencia Consecuencia Los ideales permiten formar anillos cocientes y sustentan construcciones como descomposición primaria, localizaciones y el estudio de núcleos de homomorfismos. ## Inversión Inversión Un subconjunto multiplicativo o un subanillo que contiene 1 y está cerrado por multiplicación pero no satisface la absorción aditiva difiere de un ideal; tales conjuntos no producen cocientes de la misma manera. ## Límite Límite Hay que distinguir ideales bilaterales, izquierdos y derechos en anillos no conmutativos; en álgebra conmutativa 'ideal' suele implicar bilateral. Un ideal es un subconjunto de un anillo, no un módulo genérico (aunque los ideales son módulos sobre el anillo). ## Tensión semántica Tensión semántica Ideal vs submódulo: un ideal es un submódulo del anillo considerado como módulo sobre sí mismo, pero verlo sólo como submódulo o sólo como núcleo puede ocultar la propiedad de absorción por multiplicación. ## Síntesis Síntesis Un ideal es un subconjunto de un anillo cerrado por suma y absorbente frente a la multiplicación por elementos del anillo; es la estructura adecuada para formar cocientes y analizar la estructura del anillo.