##  [Dominio de Ideales Principales](/es/node/63301) 

 Definición

Un dominio de ideales principales (PID) es un dominio íntegro en el que todo ideal se genera por un solo elemento.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Los ideales son principales: cada ideal I puede escribirse como (a) = {a·r : r en R} para algún a del dominio, lo que simplifica la teoría de ideales y las cuestiones de factorización.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Los enteros Z son un PID: todo ideal es mZ para algún entero m; los anillos de polinomios en una variable sobre un cuerpo son también PIDs, permitiendo el cálculo explícito de máximos comunes divisores y factorizaciones.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer la propiedad PID para anillos de polinomios multivariables o dominios íntegros arbitrarios; por ejemplo Z[x] no es un PID aunque Z lo sea, por lo que la generación por un solo elemento falla en general.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Se derivan muchos resultados estructurales: los PID son dominios de factorización única, los módulos torsión finitamente generados admiten descomposiciones explícitas, y la comprobación de pertenencia de ideales y el cálculo de mcd se vuelven tratables.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Un dominio íntegro en el que algunos ideales necesitan múltiples generadores; tales anillos carecen de las simplificaciones de la generación principal y pueden tener retículos de ideales y comportamiento de factorización más complicados.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se define solo entre dominios íntegros (anillos conmutativos unitarios sin divisores de cero); ser PID es más fuerte que ser UFD y, en general, más débil que ser euclidiano — las implicaciones inversas dependen de estructuras adicionales.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Relación estrecha con dominio euclidiano y UFD: los dominios euclidianos son PIDs y los PIDs son UFDs, pero las recíprocas no siempre se cumplen; es esencial distinguir qué propiedades adicionales existen.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un PID es un dominio íntegro en el que cada ideal se genera por un único elemento, proporcionando una teoría de ideales manejable que conduce a factorización única y facilita la clasificación de módulos finitamente generados.