## [Anillo de División](/es/node/63298) Definición Un anillo asociativo con unidad en el que todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo; la multiplicación puede no ser conmutativa. A veces se llama skew field o campo no conmutativo. ## Principio Principio La regla organizadora es la invertibilidad de todos los elementos no nulos junto con la asociatividad y la unidad, lo que permite operar algebraicamente incluso si ab ≠ ba. ## Demostración Demostración Los cuaterniones constituyen un ejemplo clásico no conmutativo: cada cuaternión no nulo tiene inverso, por lo que ciertas ecuaciones lineales tienen soluciones unívocas según se divida a la izquierda o a la derecha, pero el orden de los factores altera el resultado. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir que la matriz algebra M_n(F) es un anillo de división porque muchas matrices son invertibles; sin embargo existen matrices singulares, por lo que no todo elemento distinto de cero tiene inverso cuando n>1. ## Consecuencia Consecuencia La álgebra lineal lateral funciona: existen espacios vectoriales a la izquierda y a la derecha, y la posibilidad de dividir por elementos no nulos facilita la resolución de ecuaciones; también condiciona la teoría de álgebras centrales simples y la clasificación de casos finitos. ## Inversión Inversión Un anillo con divisores de cero o con elementos no nulos no invertibles; en tal anillo la división universal falla y se pierden propiedades de cancelación. ## Límite Límite Se requiere asociatividad y un elemento unidad; quedan excluidas las álgebras de división no asociativas (por ejemplo los octoniones) si se reserva “anillo de división” para estructuras asociativas; el cero no es invertible. ## Tensión semántica Tensión semántica Solapamiento con el término cuerpo: ambos exigen inversos para elementos no nulos, pero el cuerpo añade la conmutatividad multiplicativa; algunos autores usan “álgebra de división” para cubrir casos no asociativos. ## Síntesis Síntesis Un anillo de división es un anillo asociativo con unidad en el que todo elemento distinto de cero es invertible multiplicativamente; generaliza los cuerpos al permitir no conmutatividad pero conserva la capacidad de dividir por elementos no nulos.