## [Grupo Alternante](/es/node/63289) Definición El Grupo Alternante A_n es el subgrupo del grupo simétrico S_n formado por todas las permutaciones pares (las expresables como un número par de transposiciones); tiene índice dos en S_n y orden n!/2 para n ≥ 2. ## Principio Principio A_n es el núcleo del homomorfismo signo sgn: S_n → {±1}, por lo que la paridad de las permutaciones organiza S_n en dos cosets (pares e impares); para n ≥ 3 A_n está generado por 3-ciclos y para n ≥ 5 es un grupo simple no abeliano. ## Demostración Demostración A_4 contiene la identidad y las permutaciones pares derivadas de dobles transposiciones/3-ciclos, teniendo 12 elementos; A_5 tiene 60 elementos y es el menor grupo simple no abeliano, ilustrando cómo los grupos alternantes capturan la simetría 'par'. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que A_n es abeliano o que todos los subgrupos de S_n contenidos en A_n son normales es incorrecto; confundir la paridad tratando la longitud de un ciclo como la paridad de la permutación conduce a errores. ## Consecuencia Consecuencia A_n ofrece ejemplos clave de grupos simples (n ≥ 5), determina un subgrupo normal de índice dos en S_n y es central en los estudios de simplicidad, acciones de grupo y teoría de Galois donde la paridad es relevante. ## Inversión Inversión El complemento de A_n en S_n contiene todas las permutaciones impares; invertir la paridad produce la clase lateral de permutaciones impares que no es un subgrupo. Considerar solo permutaciones impares no genera un subgrupo pero muestra la estructura en cosets. ## Límite Límite Para n < 2 las definiciones se degeneran: A_0 y A_1 son triviales por convención, A_2 es trivial; propiedades como generación por 3-ciclos o simplicidad solo se sostienen en rangos especificados (≥3 para generación por 3-ciclos, ≥5 para simplicidad). Quedan excluidas nociones de paridad en otras categorías sin una aplicación signo. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre el grupo alternante como núcleo algebraico del signo y las nociones geométricas de simetrías que preservan orientación; ambos captan la 'paridad' pero pueden diferir en estructuras adicionales preservadas (orientación vs paridad de permutación). ## Síntesis Síntesis A_n es el subgrupo de permutaciones pares de S_n: el núcleo del morfismo signo, de índice dos y generado por 3-ciclos para n ≥ 3; para n ≥ 5 proporciona ejemplos de grupos simples no abelianos esenciales en la teoría de grupos.