##  [Atiyah–Singer-Indexsatz](/de/node/64065) 

 Definition

Ein Satz, der den analytischen Index eines elliptischen Differentialoperators auf einer kompakten Mannigfaltigkeit (den Fredholm-Index, Differenz von Kern- und Ko-Kern-Dimension) mit einem topologischen Index gleichsetzt, der aus den charakteristischen Klassen der Symbolklasse in der K-Theorie berechnet wird und so Analysis, Topologie und algebraische K-Theorie verbindet.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Der analytische Index eines elliptischen Operators hängt nur von der K-Theorie-Klasse seines Hauptsymbols ab; diese Klasse paart sich mit charakteristischen Klassen der Mannigfaltigkeit zu einer berechenbaren topologischen Zahl, die dem analytischen Fredholm-Index entspricht.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Bei einer kompakten Spin-Mannigfaltigkeit ist der Dirac-Operator elliptisch; sein analytischer Index stimmt mit dem A-hat-Genus der Mannigfaltigkeit überein, das aus Pontryagin-Klassen berechnet werden kann. Diese Gleichheit berechnet die Dimensionsdifferenz harmonischer Spinoren rein topologisch.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Den Satz auf nicht-elliptische Operatoren, auf Operatoren auf nicht-kompakten Mannigfaltigkeiten ohne geeignete Randbedingungen anzuwenden, oder analytische Invarianten, die von der Metrik abhängen (z. B. einzelne Eigenwerte), fälschlich als durch den topologischen Index bestimmt zu behandeln.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht die Berechnung analytischer Invarianten (Indizes von PDE-Operatoren, Existenz von Lösungen) mittels topologischer Methoden; liefert starke Einschränkungen in Geometrie, Topologie und mathematischer Physik (etwa Indexformeln für Anomalien).

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Umgekehrt bestimmen topologische Indexdaten nicht das vollständige analytische Spektrum eines Operators; analytische Spektraldaten können sich ändern, während der topologische Index konstant bleibt.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für elliptische Differentialoperatoren (oder geeignete elliptische Pseudodifferentialoperatoren) auf kompakten Mannigfaltigkeiten mit eventuell vorgeschriebenen Randbedingungen; nicht anwendbar auf nicht-elliptische Gleichungen, Operatoren unendlichen Ranges ohne Fredholm-Eigenschaft oder auf analytische Größen jenseits des Index ohne zusätzliche Voraussetzungen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen dem analytischen Indexbegriff (Fredholm-Theorie, analytische Aufbauten) und dem topologischen Begriff (K-Theorie-Klasse, charakteristische Klassen); Verwechslungsgefahr zwischen dem Index und feineren spektralen Invarianten wie Eta-Invarianten.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Atiyah–Singer-Indexsatz erkennt den Fredholm-Index eines elliptischen Operators als topologisches Paaren seiner Symbolklasse in der K-Theorie mit charakteristischen Klassen der Mannigfaltigkeit an und vereinigt damit analytische, topologische und algebraische Sichtweisen, sodass Indizes topologisch berechenbar sind.