##  [Yoneda-Lemma](/de/node/64048) 

 Definition

Ein grundlegendes Resultat der Kategorientheorie, das die Elemente eines Präfunktors an einem Objekt mit den natürlichen Transformationen vom repräsentierbaren Funktor Hom(−, A) zu diesem Präfunktor identifiziert und damit Objekte einer Kategorie durch ihre Funktoren der Punkte darstellt sowie ein volltreues Einbetten in die Präfunktorenkategorie etabliert.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Repräsentierbarkeit und Natürlichkeit: Die Werte eines Präfunktors F an einem Objekt A stehen in kanonischer Bijektion zu den natürlichen Transformationen Hom(−, A) ⇒ F; natürliche Transformationen zwischen Repräsentablen rekonstruieren Morphismen der Ausgangskategorie.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der Kategorie der Mengen definiert für ein festes Objekt X und einen Präfunktor F : C^op → Set jedes Element x ∈ F(X) eine natürliche Transformation η_x: Hom(−, X) ⇒ F, indem f: Y → X auf F(f)(x) abgebildet wird; das Yoneda-Lemma besagt, dass diese Zuordnung bijektiv und natürlich in F und X ist.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eine punktweise Bijektion zwischen Hom-Mengen und Präfunktorwerten ohne Berücksichtigung der Natürlichkeit heranzuziehen, um Isomorphie von Objekten zu folgern, oder das Lemma in Kontexten ohne Hom-Mengen (nicht lokal kleine Kategorien) oder ohne passendes Enrichment anzuwenden, wodurch die Bijektion entfällt.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Die Yoneda-Einbettung A ↦ Hom(−, A) ist volltreu, sodass man Fragen über Objekte und Morphismen durch ihre repräsentierbaren Funktoren untersuchen kann; sie liefert einen praktischen Test auf Isomorphie und einen Weg, kategoriale Strukturen in Präfunktorkategorien zu rekonstruieren.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt Objekte durch ihre Punkt-Funktoren zu repräsentieren, kann man Präfunktoren als Kolimiten von Repräsentablen darstellen (co-Yoneda-Perspektive); die Umkehrung legt den Schwerpunkt darauf, wie beliebige Präfunktoren aus Repräsentablen aufgebaut sind, statt auf dem Einbetten der Objekte.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für lokal kleine Kategorien und gewöhnliche (nicht-enrichte) Präfunktoren; in enrichten, höheren oder großen Kategoriekontexten ist die entsprechende enrichte bzw. höhere Yoneda-Formulierung nötig; es behauptet keine Gleichheit von Objekten, sondern kanonische Isomorphismen von Funktoren bzw. natürliche Bijektionen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Es besteht eine Spannung zwischen der informellen Rede von 'Elementen eines Objekts' und der kategorialen Sicht, dass Objekte nur über ihre Funktoren der Punkte 'Elemente' haben; konkurrierende Verwendungen verwischen manchmal die Natürlichkeitsbedingung, indem punktweise Korrespondenzen als ausreichend angesehen werden.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Yoneda-Lemma vereinigt Repräsentierbarkeit und Natürlichkeit: Die Werte eines Präfunktors an einem Objekt entsprechen genau den natürlichen Transformationen vom repräsentierbaren Funktor dieses Objekts, wodurch ein volltreues Einbetten entsteht, das das Studium kategorialer Objekte über ihre Punkt-Funktoren ermöglicht.