## [Nichtkohärenter Ring](/de/node/64009) Definition Ein Ring, in dem ein endlich erzeugtes Ideal nicht endlich präsentiert ist; äquivalent dazu existiert eine Abbildung zwischen endlich erzeugten freien Moduln, deren Kern nicht endlich erzeugt ist. Dies ist das Versagen von Kohärenz. ## Prinzip Prinzip Versagen der endlichen Präsentation von Relationen: Obwohl ein Ideal durch endlich viele Elemente erzeugt ist, benötigt das Relationenmodul dieser Erzeuger unendlich viele Erzeuger, sodass Relationen nicht endlich kontrollierbar sind. ## Demonstration Demonstration Ein typisches konkretes Beispiel ist der Polynomring in abzählbar vielen Variablen k[x1,x2,...]; das Ideal I = (x1,x2,x3,...) illustriert, dass es als Modul nicht endlich präsentiert ist, wodurch Kohärenz durch das Vorhandensein eines nicht endlich erzeugten Kerns verletzt wird. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Argumente zu verwenden, die voraussetzen, dass Kerne von Abbildungen zwischen endlich erzeugten Moduln endlich erzeugt sind (z. B. Faser als kohärent behandeln ohne Prüfung), führt zu falschen Schlüssen; homologische Werkzeuge, die Kohärenz benötigen, liefern unzuverlässige Ergebnisse. ## Konsequenz Konsequenz Die Kategorie der endlich präsentierten Moduln muss nicht exakt sein: Kerne können diese Klasse verlassen, was viele Konstruktionen in algebraischer Geometrie und homologischer Algebra behindert, die auf endlicher Präsentierbarkeit beruhen. ## Umkehrung Umkehrung Ein kohärenter Ring, in dem jedes endlich erzeugte Ideal endlich präsentiert ist und Kerne zwischen endlichen freien Moduln endlich erzeugt sind. ## Abgrenzung Abgrenzung Nichtkohärenz bezieht sich auf die endliche Präsentation endlich erzeugter Ideale und Kerne; sie impliziert nicht automatisch das Fehlen anderer Finitheitseigenschaften (ein Ring kann nichtkohärent sein und trotzdem andere lokale Finitheitsbedingungen erfüllen), und das Phänomen tritt in kommutativen und nichtkommutativen Kontexten auf. ## Semantische Spannung Semantische Spannung „Nichtkohärent“ wird manchmal mit „nicht-noethersch“ verwechselt, doch während alle noetherschen Ringe kohärent sind, beschreibt Nichtkohärenz ein anderes Versagen: das der Relationen statt der Erzeugung; die Spannung liegt zwischen Erzeugung und Präsentation. ## Synthese Synthese Ein Nichtkohärenter Ring ist ein Ring, in dem endliche Erzeugung nicht zu endlicher Präsentation führt: einige endlich erzeugte Ideale besitzen unendlich viele unabhängige Relationen, sodass Kerne endlicher Abbildungen nicht kontrolliert sind und wichtige exakte Eigenschaften verloren gehen.