##  [Vollständiger Typ](/de/node/63991) 

 Definition

Ein vollständiger Typ über einer Parametersatz A ist eine maximal konsistente Menge von Formeln erster Ordnung mit Parametern aus A: Für jede Formel φ(x,a) mit a in A enthält der Typ entweder φ(x,a) oder deren Negation, wobei die Gesamtheit konsistent mit der Theorie T bleibt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Maximalität in Bezug auf Konsistenz: Ein vollständiger Typ lässt keine A-Formel offen und liefert so eine vollständige erste-Ordnung-Beschreibung (relativ zu A) des hypothetischen Elements oder Tupels.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In einem gesättigten algebraisch abgeschlossenen Körper kann ein vollständiger 1-Typ über einer kleinen Teilmenge A entweder aussagen, dass ein Element algebraisch über A ist (durch Einbeziehung von Polynomgleichungen), oder dass es transzendent ist (durch Einbeziehung aller Nichtverschwindensaussagen), und entscheidet damit jede Formel mit Parametern aus A.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Vollständigkeit mit Isoliert- oder Haupttyp zu verwechseln: Ein vollständiger Typ muss nicht durch eine einzelne Formel erzeugt sein und kann in einem gegebenen Modell unerfüllt bleiben, falls dieses nicht genügend gesättigt ist.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Die Kenntnis eines vollständigen Typs über A bestimmt das elementare Diagramm des Elements relativ zu A und steuert, wie das Element durch A-fixierende Automorphismen verschoben oder erweitert werden kann.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Gegenteil ist ein partieller Typ, der manche Formeln offenlässt und dadurch weniger Information kodiert und zu vielen nicht-äquivalenten Komplettierungen führen kann.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Vollständigkeit ist relativ zu einer gewählten Parametersatz A und Sprache; ein über A vollständiger Typ kann über einer größeren Parametersatz B ⊇ A unvollständig sein, und Vollständigkeit ist eine rein erstordnungslogische Eigenschaft.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

‘Vollständig’ steht im Wettbewerb mit anderen Bedeutungen (metrische Vollständigkeit, algebraischer Abschluss); in der Modelltheorie bedeutet es syntaktische Maximalität bei Wahrung der Konsistenz, was sich von topologischer oder algebraischer Vollständigkeit unterscheidet.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein vollständiger Typ ist ein maximales, konsistentes Profil von Formeln erster Ordnung über Parametern A, das jede Formel mit diesen Parametern entscheidet und ein endgültiges erstes-Ordnung-Porträt eines hypothetischen Elements relativ zu A liefert.