##  [Elementare Teilstruktur](/de/node/63984) 

 Definition

Eine Teilstruktur A einer Struktur B (in derselben prädikatenlogischen Sprache), so dass für jede erste-Ordnung-Formel φ(x1,...,xn) und jedes Tupel a aus A gilt: B ⊨ φ(a) genau dann, wenn A ⊨ φ(a). Üblich ist die Notation A ≺ B.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Elementarität verlangt genaue Übereinstimmung in der Wahrheit aller prädikatenlogischen Formeln mit Parametern aus der kleineren Struktur; sie ist stärker als reine Teilstruktureigenschaft und sichert vollständige Erhaltung der logischen Struktur bezüglich Parametern aus A.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Sei A eine Teilmodell von B, erzeugt als Abschluss einer Menge unter definierten Operationen; wenn jede Formel mit Parametern aus A, die in B gilt, bereits in A gilt, dann ist A elementar in B. Beispielsweise lässt sich jede Struktur mittels diagonaler Einbettung als elementare Teilstruktur eines Ultraprodukts darstellen (Łoś-Theorem).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Jede Inklusionsabbildung oder induzierte Teilstruktur als elementar zu betrachten; etwa anzunehmen, die rationalen Zahlen Q seien eine elementare Teilstruktur der reellen Zahlen R in der Sprache der Körper ist falsch, weil R existenzielle Aussagen über Nullstellen erfüllt, die Q nicht erfüllt.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Wenn A ≺ B, dann werden in B realisierte Typen über A schon in A realisiert, sofern sie durch Formeln mit Parametern in A beschrieben sind; die Übertragbarkeit von Wahrheiten ermöglicht die Anwendung von Kompaktheit und Rück-Und-Her-Methoden zur Konstruktion von Isomorphismen in geeigneten Fällen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Gegenstück ist eine nicht-elementare Teilstruktur: A ⊆ B ist eine Teilstruktur, aber es existiert eine Formel mit Parametern aus A, die in B wahr und in A falsch ist. Diese Umkehrung zeigt das Versagen der Erhaltung selbst für einfache existenzielle oder universelle Formeln.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für prädikatenlogische (erste Ordnung) Sprachen und setzt voraus, dass beide Strukturen dieselbe Sprache und Symbolinterpretation teilen; sie verallgemeinert nicht unmittelbar auf höherordentliche Logiken, kategorientheoretische Unterobjekte oder bloße elementare Äquivalenz ohne Inklusion.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung besteht gegenüber »elementarer Äquivalenz« (A ≡ B), wo zwei Strukturen dieselben ersten-Ordnung-Sätze erfüllen, aber keine elementare Einbettung der einen in die andere existiert; eine Teilstruktur ist nur dann elementar, wenn Inklusion und Formel-Erhaltung zusammenfallen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine elementare Teilstruktur ist ein Teilmodell, dessen Inklusion die Wahrheit jeder ersten-Ordnung-Formel mit Parametern aus dem Teilmodell erhält, wodurch das kleinere Modell gegenüber dem größeren bezüglich Formeln mit Referenzen auf die kleineren Elemente ununterscheidbar wird.