## [Endlich Axiomatisierbare Theorie](/de/node/63981) Definition Eine Theorie, die logisch äquivalent zu einer Theorie ist, die durch eine endliche Menge von Axiomen in derselben Sprache gegeben ist; d. h. ihre Konsequenzenmenge entspricht dem Abschluss einer endlichen Axiomatisierung. ## Prinzip Prinzip Endliche Axiomatisierbarkeit drückt aus, dass unendlicher konzeptioneller Inhalt von einer endlichen Basis erzeugt werden kann; sie ist eine syntaktische Eigenschaft, die Kompaktheit und Ausdrucksfähigkeit der gewählten Logik berührt. ## Demonstration Demonstration Die prädikatenlogische Theorie der Gruppen ist endlich axiomatisierbar, da eine endliche Liste von Gruppenaxiomen sie erzeugt; dagegen ist die Klasse der Körper mit Charakteristik null in erster Ordnung nicht endlich axiomatisierbar, weil das Ausschließen jeder Primcharakteristik unendlich viele Sätze erfordert. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Von einer kurzen Präsentation auf endliche Axiomatisierbarkeit zu schließen, ohne Beweis, oder anzunehmen, dass endliche Axiomatisierbarkeit Entscheidbarkeit oder Vollständigkeit impliziere — was nicht notwendigerweise der Fall ist. ## Konsequenz Konsequenz Ist eine Theorie endlich axiomatisierbar, so lässt sich oft eine kompakte Basis für Beweise angeben und Klassifikationsresultate vereinfachen; endliche Basen sind zudem in automatisierten Beweissystemen leichter handhabbar. ## Umkehrung Umkehrung Eine nicht endlich axiomatisierbare Theorie kann dennoch rekursiv axiomatisierbar oder durch eine unendliche, rekursiv aufzählbare Menge axiomisierbar sein; das Umkehren der Eigenschaft hebt Unterschiede zwischen Endlichkeit, Rekursivität und Definierbarkeit hervor. ## Abgrenzung Abgrenzung Der Begriff ist relativ zur verwendeten Logik und Sprache (z. B. erste Stufe); eine Theorie kann in einer stärkeren Sprache oder Logik endlich axiomatisierbar sein, obwohl sie es in der ursprünglichen nicht ist. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung entsteht zwischen endlicher Axiomatisierbarkeit und modelltheoretischen Eigenschaften wie Kompaktheit: Kompaktheit verhindert, dass bestimmte globale Eigenschaften endlich erfasst werden, was einen Kompromiss zwischen Ausdruckskraft und endlicher Darstellung erzwingt. ## Synthese Synthese Eine endlich axiomatisierbare Theorie ist eine, deren gesamter deduktiver Gehalt kompakt durch eine endliche Menge von Sätzen in derselben formalen Sprache erzeugt werden kann; diese Eigenschaft beeinflusst Beweispraxis und Modellklassifikation.