## [Axiomatisierung](/de/node/63979) Definition Eine endliche oder unendliche Menge von Axiomen, die als grundlegende Sätze präsentiert werden, aus denen die Konsequenzen einer Theorie abgeleitet werden; eine Axiomatisierung erzeugt durch Abschluss unter logischer Konsequenz eine Theorie. ## Prinzip Prinzip Eine Axiomatisierung wählt eine erzeugende Menge von Sätzen, deren logischer Abschluss die beabsichtigte Modellklasse erfasst; Axiomenwahlen können Minimalität, Praktikabilität oder Berechenbarkeit betonen. ## Demonstration Demonstration Gruppen lassen sich durch die endliche Menge der Gruppenaxiome (Assoziativität, neutrales Element, Inverse) axiomisieren; die Klasse der Körper charakteristik null wird durch die üblichen Körperaxiome plus unendlich viele Sätze, die Primcharakteristiken ausschließen, axiomisierbar. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine willkürliche Liste wahrer Sätze mit einer Axiomatisierung zu verwechseln — also nicht zu prüfen, ob ihr Abschluss tatsächlich der beabsichtigten Theorie entspricht — oder auf eine 'kanonische' Axiomatisierung zu bestehen, obwohl verschiedene erzeugende Mengen möglich sind. ## Konsequenz Konsequenz Eine explizite Axiomatisierung liefert eine Grundlage für Beweissysteme, Untersuchungen zur Entscheidbarkeit und Modellkonstruktionen; eine kompakte oder endliche Axiomatisierung vereinfacht oft das Schließen und die Klassifikation. ## Umkehrung Umkehrung Statt von Axiomen ausgehend eine Theorie zu bilden, kann man von einer Modellklasse ausgehen und eine (gegebenenfalls unendliche) Axiomatisierung extrahieren, die alle in ihr wahren Sätze enthält. ## Abgrenzung Abgrenzung Bezieht sich auf Sätze in einer spezifizierten formalen Logik; schließt nicht automatisch nichtformale Voraussetzungen, metatheoretische Einschränkungen oder Axiomatisierungen in stärkeren Logiken ohne Angabe aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Die Spannung besteht zwischen minimalen Axiomatisierungen (wenige, oft abstraktere Axiome) und pragmatischen Axiomatisierungen (umfangreicher, expliziter, besser anwendbar); beide erzeugen dieselbe Theorie, tauschen Kürze gegen Anschaulichkeit. ## Synthese Synthese Eine Axiomatisierung ist ein erzeugendes Instrument: eine gewählte Menge von Sätzen, deren logischer Abschluss eine Theorie reproduziert und dabei Minimalität, Ausdruckskraft und Nützlichkeit zur Charakterisierung der gewünschten Modellklasse ausbalanciert.