## [Theorie](/de/node/63977) Definition Eine Menge von Sätzen in einer festen formalen Sprache, üblicherweise abgeschlossen unter logischer Konsequenz, deren Elemente als Axiome oder Konsequenzen dienen und eine Modellklasse charakterisieren. ## Prinzip Prinzip Eine Theorie ordnet syntaktische Verpflichtungen: Sie legt fest, welche Sätze als wahr akzeptiert werden und bestimmt die Klasse der Strukturen, die diese Sätze erfüllen. ## Demonstration Demonstration Die prädikatenlogische Theorie der Gruppen besteht aus den Gruppenaxiomen; die vollständige Theorie der reell abgeschlossenen Körper besteht aus allen Formeln des ersten Ordungs, die in den reellen Zahlen wahr sind. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine Theorie fälschlich mit einer einzigen endlichen Präsentation gleichzusetzen, ohne die Abschlussforderung unter Konsequenz zu beachten, oder informelle Annahmen als formale Theorie zu behandeln, ist missbräuchlich. ## Konsequenz Konsequenz Das Arbeiten mit einer Theorie ermöglicht das Ableiten von Sätzen durch logische Konsequenz, den Vergleich von Ausdrucksstärke sowie Aussagen über Vollständigkeit, Entscheidbarkeit und die durch die Theorie bestimmten Modellklassen. ## Umkehrung Umkehrung Statt von Sätzen auszugehen und nach Modellen zu fragen, kann man die Perspektive umkehren: man beginnt mit einer Klasse von Strukturen und bestimmt die Theorie aller in ihr wahren Sätze (Theorie der Klasse). ## Abgrenzung Abgrenzung Bezieht sich üblicherweise auf Theorien in einer angegebenen formalen Sprache und Logik (z. B. erste Stufe); schließt informelle Axiomensysteme, die nicht unter Konsequenz abgeschlossen sind, und Rahmen mit höherstufigen oder infinitären Sprachen ohne Angabe aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung besteht zwischen 'Axiomisierung' (einer erzeugenden Menge von Sätzen) und der gesamten unter Konsequenz abgeschlossenen Theorie; das eine betont Erzeuger, das andere die vollständige Abschließung. ## Synthese Synthese Eine Theorie ist der syntaktische Ort eines mathematischen Gebiets: eine unter Konsequenz abgeschlossene Menge von Sätzen, die Annahmen kodiert und die semantische Klasse der von diesen Sätzen beschriebenen Modelle bestimmt.