##  [Kodimension](/de/node/63886) 

 Definition

Kodimension ist ein numerisches Maß, das die Dimension des Umgebungsobjekts mit der Dimension eines Unterobjekts vergleicht; für ein Primideal p in einem noetherschen Ring R ist die Kohoehe (Kodimension) dim(R) - Höhe(p), und für eine Untervarietät ist es die Differenz zwischen der ambienten Dimension und der Dimension der Untervarietät.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Quantifiziere, wie viele unabhängige Bedingungen durch den Übergang vom Ambienten zum Unterobjekt auferlegt werden; Kodimension zählt den Abfall der Krull-Dimension und ist in erwarteten geometrischen Situationen additiv.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In R = k[x,y,z] (dim 3) hat das Ideal einer Ebene, das durch eine lineare Gleichung definiert ist, Kodimension 1; das Ideal einer Gerade, gegeben durch zwei unabhängige lineare Gleichungen, hat Kodimension 2, entsprechend dem Dimensionsabfall.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, Kodimension gleiche stets der minimalen Anzahl von Erzeugern des definierenden Ideals; in singulären Fällen oder bei Nichtvollständigen-Schnitten kann die minimale Erzeugerzahl die Kodimension überschreiten.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Kodimension sagt erwartete Schnittdimensionen voraus und tritt in Dimensionsformeln, Dualitätsaussagen und bei der Zählung von Parametern für Familien auf: Ein Unterobjekt der Kodimension c schneidet lokal c Dimensionen vom Ambienten ab.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die komplementäre Sicht ist die Höhe: statt zu messen, wie weit ein Objekt von der Umgebung entfernt ist, misst die Höhe, wie weit es über dem unteren Rand von Spec(R) liegt; Kodimension kann als von oben gemessene Höhe gesehen werden.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Kodimension benötigt eine definierte Ambient-Dimension; in Ringen ohne endliche Krull-Dimension kann die naive Differenz undefiniert oder unendlich sein. Für nichtprime Unterschemata kann die kodimension schematisch sein und von der topologischen Kodimension abweichen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Kodimension in der algebraischen Geometrie kann mit linearalgebraischer Kodimension (Dimension des Quotientenraums) in Konflikt stehen, wenn schematische Struktur oder Singularitäten vorliegen; algebraische Kodimension ist krull-theoretisch und nicht nur Erzeugerzählerisch.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Kodimension misst den Verlust an Krull-Dimension beim Beschränken auf ein Unterobjekt: ein grundlegendes Recheninvariant dafür, wie viele unabhängige Bedingungen oder Gleichungen dieses Unterobjekt relativ zum Ambienten erzwingen.