## [Höhe (Eines Primideals)](/de/node/63884) Definition Für ein Primideal p in einem kommutativen Ring R ist die Höhe von p das Supremum der Längen n streng wachsender Ketten von Primidealen p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn = p; äquivalent die Krull-Kodimension von p in Spec(R). ## Prinzip Prinzip Ordne Primideale nach Inklusion: Die Höhe zählt, wie viele nichttriviale Einschrittunterteilungen unter einem gegebenen Primideal liegen und misst damit seine Lage im Inklusionsverband von Spec(R). ## Demonstration Demonstration Im Polynomring k[x,y] über einem Körper k hat das Nullideal (0) Höhe 0, ein Hauptprimideal wie (x) hat Höhe 1 und ein maximales Ideal (x - a, y - b) hat Höhe 2; damit werden die sukzessiven Zunahmen der Kodimension sichtbar. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Höhe mit der minimalen Anzahl von Erzeugern des Primideals oder mit der Anzahl von Gleichungen zur Definition der entsprechenden Varietät zu verwechseln; das sind verschiedene Invarianten, die in nichtregulären Fällen auseinanderlaufen können. ## Konsequenz Konsequenz Die Kenntnis der Höhen bestimmt Dimensionsangaben für Lokalisierungen und Quotienten: height(p) = dim(R_p), und Höhen treten in Dimensionsformeln und in Stratifizierungen von Spec(R) auf. ## Umkehrung Umkehrung Das umgekehrte Konzept ist die Kohoehe (Codimension gemessen von den maximalen Idealen nach unten): statt die Ideale unter p zu zählen, zählt man die Ideale über p bis hin zu den Maximalidealen. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert für Primideale in Ringen, in denen Ketten von Primidealen sinnvoll sind; für beliebige (nichtprim) Ideale kann man Höhen ihrer minimalen Primideale betrachten, aber es gibt nicht immer eine eindeutige Höhe des Ideals selbst; in nichtkommutativen Kontexten ändern sich Links/Rechts-Unterscheidungen die Definition. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Höhe wird leicht mit Tiefe (einem homologischen Modul-Invariant) oder mit der minimalen Anzahl von Erzeugern verwechselt; Höhe ist ein ordnungstheoretisch/krull-dimensionelles Konzept, Tiefe bezieht sich auf reguläre Folgen und Ext-Gruppen. ## Synthese Synthese Die Höhe eines Primideals ist die krulltheoretische Stellung dieses Ideals in Spec(R): eine Zahl, die angibt, wie viele echte Priminklusionen bei ihm enden, steuert die lokale Dimension und fungiert als geometrische Kodimension der entsprechenden Komponente.