## [Regulärer Lokaler Ring](/de/node/63875) Definition Ein noetherscher lokaler Ring (R, m), dessen Krull-Dimension gleich der minimalen Anzahl von Erzeugern des maximalen Ideals m ist; äquivalent besitzt R eine endliche globale (homologische) Dimension gleich dieser Krull-Dimension. ## Prinzip Prinzip Regularität ist durch die Gleichheit von intrinsischer geometrischer Dimension (Krull-Dimension) und Einbettungsdimension (minimale Anzahl von Erzeugern von m) strukturiert; diese Gleichheit spiegelt homologische Endlichkeit und das Fehlen bestimmter Relationen wider. ## Demonstration Demonstration Der formale Potenzreihenring k[[x1,...,xn]] oder die Lokalisierung k[x1,...,xn]_{(x1,...,xn)} sind reguläre lokale Ringe der Dimension n: ihr maximales Ideal wird von den Koordinatenparametern erzeugt und die globale homologische Dimension ist n. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu behaupten, ein Ring sei regulär, weil sein maximales Ideal von n Elementen erzeugt werden kann, ohne die noethersche Voraussetzung oder die Gleichheit mit der Krull-Dimension zu prüfen; ein reguläres Element oder eine reguläre Folge mit dem Ring selbst zu verwechseln. ## Konsequenz Konsequenz Moduln über einem regulären lokalen Ring haben endliche projektive Dimensionen, beschränkt durch die Ringdimension; reguläre lokale Ringe sind Cohen–Macaulay und ihr Spektrum ist am abgeschlossenen Punkt glatt, wodurch Deformations- und Schnittverhalten berechenbar wird. ## Umkehrung Umkehrung Ein irregulärer (singulärer) lokaler Ring hat eine Einbettungsdimension, die strikt größer ist als seine Krull-Dimension; solche Ringe zeigen homologische Probleme (für manche Moduln unendliche projektive Dimensionen) und modellieren lokale Singularitäten. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt nur für noethersche lokale Ringe; schließt nicht-noethersche Ringe, nicht-lokale Ringe (außer bei Anwendung auf jede Lokalisierung in maximalen Idealen) und Aussagen über globale Glattheit nicht-affiner Schemata ohne lokale Überprüfung aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Der Begriff 'regulär' wird in verschiedenen Kontexten (z. B. glatte Mannigfaltigkeiten) anders verwendet; hier meint er eine präzise homologische/geometrische Gleichheit, nicht eine allgemein positive Eigenschaft. ## Synthese Synthese Ein regulärer lokaler Ring ist ein noethersches lokales Modell, dessen Dimension mit der minimalen Anzahl lokaler Parameter übereinstimmt bzw. durch endliche homologische Dimension charakterisiert ist; er steht algebraisch für einen nicht-singulären Punkt.