## [Cohen–Macaulay‑Eigenschaft](/de/node/63871) Definition Eigenschaft eines noetherschen lokalen Rings oder eines Moduls, dass seine Tiefe gleich seiner Krull‑Dimension ist (lokal); d. h. es wird die größtmögliche Tiefe im Verhältnis zur Dimension erreicht. ## Prinzip Prinzip Maximale Nichtverschwinden regulärer Folgen: ein Cohen–Macaulay‑Objekt besitzt reguläre Folgen von maximaler Länge, wodurch homologische Hindernisse minimiert werden. ## Demonstration Demonstration Reguläre lokale Ringe und Polynomringe sind Cohen–Macaulay. Beispielsweise haben k[x1,...,xn] und deren Lokalisierungen Tiefe n gleich der Krull‑Dimension n. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Cohen–Macaulay mit Regularität oder Freiheitsgraden gleichzusetzen: Cohen–Macaulay sichert Tiefe = Dimension, impliziert aber nicht, dass der Ring regulär ist (Regularität verlangt endliche globale Dimension). ## Konsequenz Konsequenz Cohen–Macaulay‑Ringe besitzen vorteilhafte homologische und geometrische Eigenschaften: besseres Verhalten der Tiefe unter Lokalisierung, Unvermischtheit von Idealen, wohlverhaltene Multiplicitäten und Dualitätstheorien. ## Umkehrung Umkehrung Ein nicht Cohen–Macaulay‑Ring hat Tiefe < Dimension; dies führt zu komplizierteren Ext‑Mustern, eingebetteten assoziierten Primidealen und problematischer lokaler Kohomologie. ## Abgrenzung Abgrenzung Am gebräuchlichsten für noethersche lokale oder graduierte Ringe und endlich erzeugte Module; außerhalb des noetherschen Rahmens oder ohne Begriff der Tiefe kann die Bedingung undefiniert sein oder Anpassung verlangen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zu Serres S_k‑Bedingungen und zu Gorenstein: Cohen–Macaulay entspricht Serre S_dim, aber zusätzliche Bedingungen (z. B. Einfachheit des kanonischen Moduls) trennen Gorenstein von Cohen–Macaulay. ## Synthese Synthese Cohen–Macaulayness kennzeichnet Ringe oder Module, deren Tiefe der Dimension entspricht, was die Existenz regulärer Folgen maximaler Länge und handhabbare homologische und geometrische Eigenschaften signalisiert.