##  [Projektivität](/de/node/63859) 

 Definition

Ein R-Modul P heißt projektiv, wenn er ein direkter Summand eines freien Moduls ist; äquivalent hat P die Hebeeigenschaft, dass jede Surjektion M → N und jede Abbildung P → N auf eine Abbildung P → M gehoben werden kann. Homologisch entspricht dies Ext1_R(P,−) = 0.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Projektive Module spalten Surjektionen: Abbildungen von Projektiven faktorisieren durch surjektive Abbildungen, was einer freiheitsähnlichen Fähigkeit entspricht, Relationen zu heben und exakte Sequenzen zu spalten, wenn P als Summand auftritt.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Z ist als Z-Modul projektiv (tatsächlich frei vom Rang 1). Über einem lokalen Ring ist jedes endlich erzeugte projektive Modul frei, sodass die Projektivität dort auf eine klassische Basiskondition hinausläuft; dagegen ist Z/2Z nicht projektiv über Z.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu behaupten, jedes projektive Modul sei ohne Voraussetzungen frei; über nichtlokalen, nicht-prinzipalen Ringen existieren nichtfreie Projektive. Projektiv mit injektiv zu verwechseln verwechselt die dualen homologischen Rollen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Projektive Module vereinfachen homologische Algebra: sie haben kurze projektive Auflösungen an ihrer Position, vernichten Ext^1 und erlauben das Spalten kurzer exakter Sequenzen, in denen sie als Summand auftreten, was Klassifikation und Hebungsprobleme erleichtert.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Nichtprojektive Module können nicht immer Abbildungen durch Surjektionen heben und erzeugen möglicherweise nichttriviale Erweiterungen, gemessen durch Ext-Gruppen; Aufgaben, die Spaltung oder Hebung benötigen, werden obstructed und erfordern längere Auflösungen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Projektivität ist in der Regel stärker als Flachheit und steht nicht in direktem Zusammenhang mit Endlichkeit, sofern nicht gesondert angegeben; viele Aussagen erfordern zusätzlich endlich erzeugte oder endlich präsentierte Projektivität.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen der abstrakten homologischen Eigenschaft 'projektiv' und der konkreten Intuition 'frei': über manchen Ringen fallen die Begriffe zusammen, über anderen existieren nichtfreie Projektive mit feinen arithmetischen oder geometrischen Informationen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Projektivität heißt, direkter Summand eines freien Moduls zu sein bzw. die Hebeeigenschaft für Surjektionen zu besitzen; so liefert sie Module, die exakte Sequenzen spalten und homologische Hindernisse ersten Grades zum Verschwinden bringen.