## [Pfadalgebra](/de/node/63808) Definition Eine assoziative Algebra, deren Basis aus allen gerichteten Pfaden in einem Quiver (gerichteter Graph) besteht; die Multiplikation ist die Konkatenation von Pfaden, wenn das Endpunkt des ersten mit dem Startpunkt des zweiten übereinstimmt, sonst ist das Produkt null; die Null-Längen-Pfade an den Knoten sind Idempotente. ## Prinzip Prinzip Die kombinatorischen Daten eines gerichteten Graphen in eine Algebra überführen, indem Pfade zu Basisvektoren werden und die Verkettung kompatibler Pfade zur Multiplikation gemacht wird, sodass Pfadzusammenfügung zu assoziativem Algebraverhalten führt. ## Demonstration Demonstration Für einen Quiver mit Knoten v1 → v2 → v3 und Pfeilen a:v1→v2, b:v2→v3 enthält die Pfadalgebra die Idempotente e_{v1}, e_{v2}, e_{v3}, die Pfeile a, b und den Länge-2-Pfad ab; a·b = ab, b·a = 0, e_{v1}·a = a = a·e_{v2}. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Pfadalgebra fälschlich als kommutativ behandeln, nicht-komponierbare Pfade verketten und das null-Produkt ignorieren oder sie mit der freien Algebra über den Pfeilen verwechseln, ohne die Idempotenten der Knoten und Quellen/Ziele zu berücksichtigen. ## Konsequenz Konsequenz Moduln über der Pfadalgebra entsprechen Darstellung des Quivers; endlich-dimensionale Quotienten durch Relationen liefern eine breite Klasse endlich-dimensionaler Algebren, wodurch Pfadalgebren ein zentrales Werkzeug in der Darstellungstheorie sind. ## Umkehrung Umkehrung Das Umkehren aller Pfeile des Quivers ergibt die entgegengesetzte Algebra; dual dazu liefert die Betrachtung linearer Kombinationen von Pfaden mit Dekonkatenationskostruktur die Pfadkoadalgebra, die die Richtung der algebraischen Komposition umkehrt. ## Abgrenzung Abgrenzung Voraussetzung ist ein gerichteter Graph (Quiver); unendliche Quiver oder Pfade unendlicher Länge führen zu Kardinalitäts- und Konvergenzfragen und benötigen Zusatzannahmen zur Endlichkeit; die Konstruktion unterscheidet sich von der freien assoziativen Algebra, weil Knotenidempotente und Komponierbarkeitsbedingungen zusätzliche Struktur liefern; Relationen können die einfache Pfadbasis zerstören. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Der Ausdruck 'Quiver-Algebra' wird oft synonym verwendet; es ist jedoch zwischen Pfadalgebren und anderen mit einem Quiver verbundenen Algebren (z. B. mit Relationen versehene gebundene Quiver-Algebren, Pfadkoadalgebren) sowie der freien Algebra über den Pfeilen ohne Idempotente zu unterscheiden. ## Synthese Synthese Eine Pfadalgebra ist die assoziative Algebra, die aus einem gerichteten Graphen entsteht, indem gerichtete Pfade als Basis genommen und die Multiplikation durch Konkatenation komponierbarer Pfade definiert wird; so wird kombinatorische Pfadzusammenfügung in eine algebraische Struktur überführt, die insbesondere Darstellungen des Quivers kodiert.