##  [Zentrale Einfache Algebra](/de/node/63790) 

 Definition

Eine endlich-dimensionale, assoziative Algebra A über einem Körper F, die einfach ist (keine nichttrivialen zweiseitigen Ideale) und deren Zentrum genau F ist, d.h. Z(A)=F.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Zentralität und Einfachheit zwingen A dazu, bis auf Isomorphismus eine Matrixalgebra über einer zentralen Divisionsalgebra über F zu sein; diese Eigenschaften kontrollieren sowohl die Idealstruktur als auch das Skalarmitverhalten.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Jede Algebra der Form M_n(D), wobei D eine endlich-dimensionale Divisionsalgebra mit Zentrum F ist, ist eine zentrale einfache Algebra über F; über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist jede zentrale einfache Algebra isomorph zu M_n(F).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eine Algebra als 'zentrale einfache Algebra' zu bezeichnen, obwohl ihr Zentrum das Grundfeld streng enthält oder sie nichttriviale zweiseitige Ideale besitzt, oder 'zentral' und 'einfach' zu verwechseln.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Zentrale einfache Algebren lassen sich als Elemente der Brauergruppe von F klassifizieren; ihre Dimensionen sind Quadratzahlen, und ihre Moduln-Kategorien sind via Morita-Theorie gut verstanden.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Eine Algebra, die zwar einfach, aber nicht zentral ist (Zentrum größer als das Grundfeld), oder zentral, aber nicht einfach (mit echten zweiseitigen Idealen), steht im Gegensatz zur zentralen einfachen Bedingung.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Erfordert Endlichkeit der Dimension und Assoziativität über einem festgelegten Grundfeld; schließt unendliche-dimensionale Algebren, nichtassoziative Algebren und Algebren mit größerem Zentrum aus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen 'einfach' und 'zentral einfach' sowie zwischen Matrixalgebren über dem Grundfeld und solchen über nichttrivialen Divisionsalgebren; diese Unterscheidungen sind für Klassifikationen und Brauer-Theorie zentral.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine zentrale einfache Algebra ist eine endlich-dimensionale assoziative Algebra über F, die einfach ist und Zentrum F hat, und daher bis auf Isomorphismus eine Matrixalgebra über einer zentralen Divisionsalgebra ist.