## [Filtrierte Algebra](/de/node/63774) Definition Eine Algebra A mit einer wachsenden Folge von Unterräumen ... = F_{-1} ⊆ F_0 ⊆ F_1 ⊆ ... deren Vereinigung A ist und so, dass die Multiplikation F_i · F_j ⊆ F_{i+j} erfüllt; die Filtrierung ordnet Elemente nach Komplexität statt nach genauem Grad. ## Prinzip Prinzip Eine kompatible Filtrierung zeichnet eine Hierarchie von ‚Größe‘ oder ‚Ordnung‘ auf, sodass Produkte die Komplexität vorhersagbar erhöhen; die zugehörige graduierte Algebra gr_F(A) = ⊕ F_i / F_{i-1} verknüpft filtrierte und graduierte Methoden. ## Demonstration Demonstration Die universelle Hüllalgebra U(g) einer Lie-Algebra g ist nach Tensorgrad gefiltert: endliche Summen von Produkten von ≤ n Lie-Elementen liegen in F_n, und der Poincaré–Birkhoff–Witt-Satz identifiziert gr_F(U(g)) mit der symmetrischen Algebra von g. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine Filtrierung wie eine direkte Summen-Gradierung zu behandeln oder Vollständigkeitsfragen zu ignorieren, wenn man mit unendlich absteigenden Filtrierungen arbeitet, führt zu falschen Schlüssen; anzunehmen, das assoziierte Graduierte gleiche dem Original, ist unsicher. ## Konsequenz Konsequenz Filtrierungen erlauben die Verwendung von Spektralfolgen, definieren Komplettierungen und Topologien (adische Komplettierungen) und gestatten oft den Übergang zum assoziierten Graduierten, um Invarianten zu berechnen oder Strukturtheoreme zu beweisen. ## Umkehrung Umkehrung Das Gegenstück ist eine strikt graduierte Algebra mit einer exakten direkten Summenzerlegung; manche Resultate vereinfachen sich im graduirten Fall, müssen aber für gefilterte Algebren über das assoziierte Graduierte zurückgeholt werden. ## Abgrenzung Abgrenzung Erfordert eine wachsende (oder erschöpfende) Kette von Unterräumen, die mit der Multiplikation kompatibel ist und deren Vereinigung die ganze Algebra bildet; schließt nicht-verschachtelte Zerlegungen, Filtrierungen, die nicht von der Multiplikation respektiert werden, und nicht-erschöpfende Ketten aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht Spannung zwischen Filtrierung und Graduierung: Filtrierungen sind flexibler und treten natürlich auf, aber viele algebraische Resultate sind im graduirten Fall leichter und erfordern zusätzliche Arbeit, um vom Graduierten auf das Gefilterte zu heben. ## Synthese Synthese Eine gefilterte Algebra ist eine Algebra mit einer verschachtelten Familie von Unterräumen, die mit der Multiplikation kompatibel ist; durch Übergang zum assoziierten Graduierten und Betrachtung von Komplettierungen verbindet man Rechenvorteile graduierter Methoden mit der Flexibilität von Filtrierungen.