## [Einheitliche Assoziative Algebra](/de/node/63770) Definition Eine assoziative Algebra, die ein ausgezeichnetes multiplikatives Einselement 1 enthält, so dass 1·a = a·1 = a für jedes Element a gilt. Die Einheit ist Teil der algebraischen Daten und wird bei unitalen Homomorphismen und Modulen verwendet. ## Prinzip Prinzip Die Existenz einer Einheit ermöglicht skalarenartigen Aktionen, definiert unitalen Modulstrukturen und erlaubt die Identifikation der Algebra mit einer Unteralgebra ihrer Endomorphismen durch Links- bzw. Rechtsmultiplikation, die die Einheit erhält. ## Demonstration Demonstration Die Matrixalgebra M_n(K) hat die Einheitsmatrix I_n, die auf jede Matrix neutral wirkt. Die Gruppenalgebra K[G] enthält das Gruppenidentityelement eingebettet als Unit der Algebra. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Anzunehmen, jede assoziative Algebra habe automatisch eine Einheit, oder ein Ideal (eine nicht-unitale Unteralgebra) als unital zu behandeln, führt zu falschen Schlüssen; ein weiterer Fehler ist, die Einheit stets als zentral zu betrachten. ## Konsequenz Konsequenz Mit einer Einheit kann man von unitalen Modulen sprechen, Einheits-erhaltende Algebra-Homomorphismen definieren, invertierbare Elemente behandeln und die Einheiten bilden eine multiplikative Gruppe; viele Strukturtheoreme setzen eine Einheit voraus. ## Umkehrung Umkehrung Nicht-unitalen Algebren (oder rngs) fehlt ein globales multiplikatives Eins; manche Konstruktionen fügen eine Eins hinzu oder arbeiten mit lokalen Einheiten, was Kategorien von Modulen und Homomorphismen ändert. ## Abgrenzung Abgrenzung Der Begriff verlangt ein eindeutiges zweiseitiges Einselement innerhalb der Algebra; Algebren mit nur einseitigen Einsen oder solche, die erst nach Adjonktion eines Elements unital werden, fallen nicht unter die strikte Definition. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht Spannung zwischen Arbeiten in der Kategorie unitaler Algebren und der nicht-unitalen oder augmentierten Kategorie: einige universelle Konstruktionen verlangen eine Einheit, andere sind natürlicher ohne. ## Synthese Synthese Eine unital assoziative Algebra ist eine assoziative Algebra zusammen mit einem ausgezeichneten zweiseitigen Einselement, das standardmäßige Begriffe wie Einheits-erhaltende Homomorphismen, invertierbare Elemente und unitalen Module ermöglicht.