##  [Abgeleiteter Funktor](/de/node/63719) 

 Definition

Eine Konstruktion, die einem (linken oder rechten) exakten Funktor zwischen abelschen (oder entsprechend abgeleiteten) Kategorien eine Folge höherer Funktoren (R^iF oder L_iF) zuordnet, gewonnen durch Anwenden von F auf Auflösungen (injektive oder projektive) und Nehmen der Kohomologie; sie misst, wie sehr F von Exactness abweicht.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Abgeleitete Funktoren verwandeln das Versagen von Exactness in berechenbare homologische Invarianten: Durch Auflösungen der Objekte und Anwendung des ursprünglichen Funktors zeichnen Kohomologiegruppen Obstruktionen und Extensionsdaten auf, die der underivierte Funktor übersieht.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beispiel: Ext^i(-,-) sind die rechten abgeleiteten Funktoren R^i Hom(−,−), und Tor_i(-,-) sind die linken abgeleiteten Funktoren L_i(− ⊗ −); sie entstehen, indem man Hom oder Tensor auf injektive bzw. projektive Auflösungen anwendet und die Kohomologie bildet.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Versuche, abgeleitete Funktoren ohne geeignete Auflösungen zu berechnen, Verwendung nicht-auflösender Klassen wenn die Kategorie nicht genügend Projektive/Injektive hat, oder das Behandeln abgeleiteter Funktoren als objektweise Gleichheiten statt als kohomologische Konstruktionen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Abgeleitete Funktoren erzeugen lange exakte Sequenzen, Spektralsequenzen und Obstruktionsklassen, die kurze exakte Sequenzen in der Quellkategorie mit homologischen Daten der Zielkategorie verknüpfen; sie systematisieren kohomologische Rechnungen und Invarianten.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehrung ist der unterableitete Funktor, der auf projektiven oder injektiven Objekten wirkt, für die höhere abgeleitete Funktoren verschwinden: In diesem eingeschränkten Setting kollabiert die abgeleitete Konstruktion zum ursprünglichen Funktor und es entsteht keine neue Kohomologie.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Abgeleitete Funktoren setzen abelsche oder abgeleitete Kontexte voraus und typischerweise genügend Projektive bzw. Injektive (oder modellkategoriale/abgeleitete Enhancements); in nicht-abelschen Kontexten sind homotopische Ersetzungen (abgeleiteter Funktor in der Homotopiekategorie) statt naiver Auflösungen nötig.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Der Begriff des abgeleiteten Funktors steht im Spannungsfeld zu homotopisch-invarianten oder totalen abgeleiteten Konstruktionen: Das klassische R^i/L_i-Bild genügt in vielen abelschen Fällen, in homotopischen oder ∞-kategorialen Kontexten bevorzugt man jedoch totale oder ∞-abgeleitete Funktoren.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein abgeleiteter Funktor erweitert einen in Exactness eingeschränkten Funktor zu einer graduierten Familie, die sein Versagen in Exactness misst: durch Auflösungen und Kohomologie codiert er Extensions-, Obstruktions- und höherstufige Informationen, zentral in der homologischen Algebra.