##  [Tannaka-Dualität](/de/node/63705) 

 Definition

Ein Dualitätsprinzip und Rekonstruktionstheorem, das ein algebraisches Objekt (wie eine proalgebraische Gruppe, ein Gruppenschema oder eine Hopf-Algebra) aus einer hinreichend starren tensoriellen Kategorie seiner linearen Darstellungen zusammen mit einem Faserfunktor in Vektoräume wiederherstellt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die tensorielle Struktur und natürlichen Transformationen in der Darstellungskategorie kodieren Multiplikation, Komultiplikation und andere Strukturabbildungen des ursprünglichen Symmetrieobjekts; ein Faserfunktor liefert die konkrete Realisierung, die für die Rekonstruktion nötig ist.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für eine kompakte topologische Gruppe oder ein affines Gruppenschema G bestimmt die Kategorie ihrer endlichdimensionalen stetigen (oder algebraischen) Darstellungen, versehen mit dem Tensorprodukt und dem Vergessfunktor nach Vect_k, G bis auf Isomorphismus durch Rekonstruktion der Hopf-Algebra der repräsentativen Funktionen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Der Versuch, aus einer Kategorie ohne Rigidität (keine Duale), ohne kompatible tensorielle Struktur oder ohne neutralen Faserfunktor zu rekonstruieren, wird kein kanonisches algebraisches Objekt liefern; das Weglassen des Faserfunktors verliert die konkrete Realisierung.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Unter Erfüllung der Voraussetzungen kann man Symmetrieobjekte nach ihren Darstellungskategorien klassifizieren, Probleme der Gruppentheorie in kategoriale Begriffe überführen und Gruppenschemata oder Hopf-Algebren aus rein kategorialen Daten konstruieren.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt vom Gruppensobjekt zur Darstellungskategorie zu gehen, läuft Tannaka-Dualität den Prozess rückwärts: Aus den kategorialen Daten (tensonale Kategorie plus Faserfunktor) rekonstruiert man das ursprüngliche gruppenartige Objekt und kehrt so die übliche Richtung um.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Erfordert eine starre, k-lineare tensorn Kategorie mit Exaktheitseigenschaften und typischerweise einen neutralen Faserfunktor nach Vect_k; das Fehlen von Rigidität, eines Faserfunktors oder problematische Charakteristiken des Basisfeldes können die Rekonstruktion verhindern oder die Klasse der rekonstruierten Objekte verändern.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Verwandt mit, aber verschieden von Pontryagin-Dualität und Fourier-ähnlichen Dualitäten (die abelsch und analytisch sind); Tannaka ist nichtabelsch und kategorial und überschneidet sich zwar mit Rekonstruktionsresultaten der Hopf-Algebren-Theorie, ist jedoch nicht identisch mit diesen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Tannaka-Dualität besagt, dass die tensorielle Struktur einer Darstellungskategorie zusammen mit einem Faserfunktor genau die Daten enthält, um das zugrundeliegende Symmetrieobjekt zu rekonstruieren: Darstellungstheorie und das algebraische Objekt sind zwei Seiten derselben Struktur.