## [Rein Untrennbare Erweiterung](/de/node/63657) Definition Eine Körpererweiterung L/K in Charakteristik p>0, so dass jedes Element von L algebraisch über K ist und für jedes α∈L ein n≥0 existiert mit α^{p^n}∈K; äquivalent: der separable Anteil ist trivial und alle minimalen Polynome sind reine p-Potenzen. ## Prinzip Prinzip Entsteht durch das Versagen der Ableitung in positiver Charakteristik: Frobenius-Potenzen verschmelzen verschiedene Wurzeln, sodass Algebraizität allein durch p-Potenzen-Beziehungen erzeugt werden kann statt durch separable Minimalpolynome. ## Demonstration Demonstration Betrachte K = F_p(t^p) in L = F_p(t). Hier ist t^p∈K aber t∉K; jedes Element von L erfüllt eine p-Potenzen-Relation über K (z. B. t^{p}∈K), daher ist L/K rein untrennbar. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine Erweiterung als rein untrennbar zu bezeichnen, obwohl sie nur einige untrennbare Elemente zusammen mit einem nichttrivialen separablen Teil enthält; 'untrennbar' mit 'nicht separabel' zu verwechseln verschleiert oft den separablen Anteil. ## Konsequenz Konsequenz Galois-Methoden versagen: Es gibt keine nichttrivialen separablen Galois-Gruppen, K-Einbettungen sind nicht unterscheidbar, und die durch die Erweiterung induzierten geometrischen Abbildungen sind untrennbar mit Auswirkungen auf Dimension und Differentialformen. ## Umkehrung Umkehrung Eine separable Erweiterung, bei der die minimalen Polynome einfache Wurzeln haben und Frobenius die Einbettungen nicht zusammenfallen lässt; separable und rein untrennbare Teile ergänzen einander in der algebraischen Zerlegung. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt nur für algebraische Erweiterungen in Charakteristik p>0; nicht anwendbar in Charakteristik 0, bei transzendenten Erweiterungen oder bei Erweiterungen mit nichttrivialer Zerlegung in separable und untrennbare Teile. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Zwischen 'untrennbar' (einige Elemente können untrennbar sein) und 'rein untrennbar' (jedes Element erfüllt eine p^n-Potenz-Relation über dem Grundkörper); nahe Begriffe: separabler Abschluss, perfekte Körper. ## Synthese Synthese Eine rein untrennbare Erweiterung ist eine algebraische Erweiterung in positiver Charakteristik, die ausschließlich durch p-Potenzen-Relationen erzeugt wird: der Frobenius-Effekt eliminiert die separable Struktur und verursacht spezifische Ausfälle der Galoistheorie und differenzieller Eigenschaften.