## [Eingebettete Komponente](/de/node/63651) Definition Eine Komponente eines Schemas oder einer algebraischen Menge, deren Träger im Träger einer anderen (minimalen) Komponente liegt; typischerweise realisiert durch ein nicht‑minimales assoziiertes Primideal und reflektierend nichtrein dimensionale oder nichtreduzierte Struktur. ## Prinzip Prinzip Eingebettete Komponenten entstehen aus nichtminimale assoziierten Primidealen in primären Zerlegungen: sie zeigen eine versteckte Struktur an, die entlang einer größeren Komponente getragen wird, statt ein oberes irreduzibles Teilstück zu bilden. ## Demonstration Demonstration Für das Ideal I = (x^2, xy) in k[x,y] kann die primäre Zerlegung eine eingebettete Komponente zeigen, die in (x,y) unterstützt ist und innerhalb der x‑Achse liegt; schematisch tritt dies als eingebettetes assoziiertes Unterschema auf. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eingebettete Komponenten als echte irreduzible Komponenten zu behandeln, um geometrische Stücke zu zählen (z. B. eingebettete Vielfachheiten als separate geometrische Komponenten zählen) — eingebettete Komponenten dürfen nicht mit minimalen Primidealen verwechselt werden. ## Konsequenz Konsequenz Das Vorhandensein eingebetteter Komponenten beeinflusst Tiefe, lokale Kohomologie und das Verhalten von Garben; es signalisiert, dass der Raum an diesen Stellen nicht äquidimensional oder nicht Cohen–Macaulay ist und verkompliziert Schnitt‑ und Deformationstheorie. ## Umkehrung Umkehrung Eine isolierte oder minimale Komponente wird von einem minimalen Primideal getragen und entspricht einem echten oberflächlichen irreduziblen geometrischen Teil; das Entfernen eingebetteter Komponenten ergibt die primäre topologische Zerlegung. ## Abgrenzung Abgrenzung Eingebettete Komponenten sind mit nichtminimalen Primidealen verbunden und sind im topologischen Träger des reduzierten Schemas unsichtbar (es sind schematische Phänomene); sie sind nicht zu verwechseln mit eingebetteten Punkten des zugrundeliegenden topologischen Raums. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen 'eingebetteter Komponente' und 'assoziiertem Primideal': jede eingebettete Komponente gehört zu einem nichtminimalen assoziierten Primideal, aber nicht jedes assoziierte Primideal wirkt wie eine separate geometrische Komponente in der reduzierten Topologie. ## Synthese Synthese Eine eingebettete Komponente ist ein schematisches, nichtminimales assoziiertes Teil, das innerhalb einer größeren Komponente getragen wird: sie repräsentiert nichtreine dimensionale oder infinitesimale Struktur, die algebraische und homologische Invarianten ändert, ohne als eigene reduzierte geometrische Komponente aufzutreten.