## [Verzweigungsstelle](/de/node/63643) Definition Ein Punkt einer endlichen Morphismus (oder Erweiterung), an dem die Abbildung nicht étale oder lokal bijektiv ist, gemessen durch einen Ramifikationsindex > 1; algebraisch entspricht dies nichttrivialer Inertie oder nichttrivialer Erweiterung der Restklassenkörper. ## Prinzip Prinzip Verzweigungsstellen treten auf, wenn die lokale Algebra des Morphismus in der Faser nilpotente oder wiederholte Faktoren annimmt, bzw. wenn der valuations-theoretische Ramifikationsindex oder die Inertiegruppe nichttrivial ist, was von lokaler Étalität abweicht. ## Demonstration Demonstration Für den Homomorphismus der Koordinatenringe k[t] → k[u], t ↦ u^e, ist das Bild von u = 0 eine Verzweigungsstelle mit Index e: die Faser hat Multiplizität e, das Differential verschwindet von Ordnung e−1, und die Restkörpereweiterung ist trivial, während der lokale Grad steigt. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu behaupten, ein Punkt, an dem die Zielvarietät singulär ist, sei eine Verzweigungsstelle des Morphismus, ist ein Missverständnis: Verzweigung betrifft das Verhalten der Quelle über der Basis, nicht intrinsische Singularitäten der Basis. ## Konsequenz Konsequenz Das Auffinden von Verzweigungsstellen zeigt, wo lokale Invarianten wie die Different, die Diskriminante und der Leiter (Conductor) unterstützt sind, beeinflusst Riemann–Hurwitz-artige Formeln und steuert die Wirkung lokaler Galois‑ oder Inertiegruppen. ## Umkehrung Umkehrung Ein étaler (unverzweigter) Punkt ist ein Punkt, an dem der Morphismus flach und unverzweigt ist: der Ramifikationsindex ist eins, das Differential verschwindet nicht, und lokale Ringe verhalten sich wie separable Erweiterungen. ## Abgrenzung Abgrenzung Anwendbar auf endliche Morphismen von Schemata, endliche Erweiterungen lokaler Körper und algebraische Überlagerungen; schließt topologische Verzweigungsphänomene aus, die keine algebraische Inertiedaten tragen, und muss Inséparabilität in positiver Charakteristik berücksichtigen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Der algebraische Begriff 'Verzweigungsstelle' überschneidet sich mit dem analytischen 'Verzweigungspunkt', betont jedoch Inertie, Indizes und Diskriminante statt Monodromie; in arithmetischen Kontexten teilt er sich weiter in zahmes und wildes Verhalten. ## Synthese Synthese Eine Verzweigungsstelle ist ein Basispunkt einer endlichen algebraischen Abbildung, an dem Étalität versagt: lokale Grade springen, Inertie wirkt nichttrivial, und algebraische Invarianten wie Different und Diskriminante zeichnen die Abweichung vom Unverzweigetsein auf.