##  [Tacnode](/de/node/63640) 

 Definition

Ein Tacnode ist eine ebene Singularität, bei der zwei glatte Zweige eine gemeinsame Tangente haben und am Berührpunkt höheren Ordnungs-Kontakt (Oszillation) besitzen; geometrisch treffen die Zweige mit höherer Tangengradigkeit aufeinander statt transversal.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Tacnodes entstehen, wenn der quadratische (ggf. höhere) Teil der lokalen Gleichung nicht in verschiedene lineare Faktoren zerfällt, sondern zwei verschiedene glatte Zweige erzeugt, deren Tangentenrichtungen zusammenfallen; algebraisch entspricht dies mehrfachen Faktoren mit erhöhtem Kontaktordnungsgrad in der lokalen Entwicklung.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Ein Modell ist y^2 = x^4 in einer Umgebung des Ursprungs: die Kurve hat die Zweige y=±x^2, die die Tangente y=0 teilen und sich mit Kontaktordnung zwei treffen, sodass ein Tacnode entsteht statt eines Knotens oder einer Spitze.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Ein Tacnode mit einem Knoten (transversales Schneiden) oder mit einer Spitze (unizweigige Tangente) zu verwechseln — ein Tacnode ist mehrzweigig mit übereinstimmenden Tangenten, nicht eine einzweigige spitze Singularität oder ein transversales Schnittpunkt.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Tacnodes sind komplizierter aufzulösen als Knoten: sie erfordern typischerweise mehrere Aufblasungen, um die Zweige zu trennen, beeinflussen lokale Schnittmultiplikitäten stark und ändern das Verhalten der Normalisierung und enumerativen Zählungen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein transversaler Knoten, bei dem die Zweige verschiedene Tangentenrichtungen haben, oder eine einzweigige Spitze (Kuspidalpunkt), bei der nur ein Zweig existiert.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Bezieht sich auf ebene oder kurvenartige Singularitäten mit höherem Kontaktordnungsgrad; schließt gewöhnliche Knoten, einzweigige Kuspidalstellen und nichtreduzierte höheren Multiplizität-Kontakte aus. In positiver Charakteristik kann die lokale Faktorisierung und die Kontaktordnung abweichen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zu Begriffen wie 'Oszillation' oder 'Tangentialordnung' — Tacnode betont das Zusammenfallen der Tangenten verschiedener Zweige, während andere Begriffe die Multiplizität oder Einzweigigkeit fokussieren.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Tacnode ist eine mehrzweigige ebene Singularität, bei der verschiedene glatte Zweige dieselbe Tangente teilen und sich mit höherem Kontakt treffen (z. B. y^2 = x^4), was eine feinere Auflösung als bei gewöhnlichen Knoten erforderlich macht.