## [Kuspidalpunkt](/de/node/63639) Definition Eine kuspidale Singularität (Spitze) ist ein Punkt, an dem ein einziger Zweig einer Kurve eine Selbsttangente aufweist und dadurch eine spitze, nichttransversale lokale Geometrie entsteht; algebraisch ist der quadratische Anteil ein Quadrat und höhergradige Terme erzeugen eine einzelne Tangentialrichtung mit Multiplizität. ## Prinzip Prinzip Kuspidalpunkte entstehen, wenn der homogenste Teil der lokalen Gleichung einen mehrfachen linearen Faktor hat, sodass sich der Zweig nicht in verschiedene Tangenten aufspaltet; die Kontaktordnung von Parametrisierungen ist größer und die Normalisierung ergibt einen einzigen Zweig. ## Demonstration Demonstration Ein klassisches ebenes Modell ist y^2 = x^3 am Ursprung: der Gradient verschwindet dort und die Kurve hat eine einzelne Tangentenrichtung, aber eine spitzere Gestalt als eine glatte Wendung — der Ursprung ist eine Kuspidalstelle. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Jeden scharf erscheinenden Punkt als Kuspidalpunkt zu bezeichnen, ohne die algebraische Multiplizität oder die Faktorisierung des quadratischen Teils zu prüfen, oder einen Wende- bzw. Inflexionspunkt einer glatten Kurve mit einer Kuspidal-Singularität zu verwechseln. ## Konsequenz Konsequenz Kuspidalstellen sind schwerwiegender als Knoten: sie sind nicht in gleicher Weise stabil unter kleinen Störungen, die Normalisierung verhält sich anders als bei Knoten, und sie beeinflussen Invarianten wie δ und das Geschlecht verschieden. ## Umkehrung Umkehrung Ein gewöhnlicher Knoten, bei dem zwei verschiedene Tangenten existieren und die Zweige transversal schneiden, oder ein glatter Inflexionspunkt, bei dem die Krümmung wechselt, der Punkt aber regulär bleibt. ## Abgrenzung Abgrenzung Bezeichnet speziell eine unizweige Singularität mit Tangente der Multiplizität >1; schließt mehrzweilige Degenerationen, höhergradige Kuspidaltypen (Ramphoid-Kuspiden) und nichtreduzierte Phänomene aus. Die Charakteristik des Grundfeldes kann die Klassifikation verändern. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zur Vorstellung eines Inflexionspunktes oder höheren Kontakts, der dennoch regulär ist; eine Kuspidalstelle ist singulär und unizweiglich, während ein Inflexionspunkt glatt bleibt. ## Synthese Synthese Eine Kuspidalstelle ist ein unizweigiger singulärer Punkt, bei dem der niedrigste homogene Teil der lokalen Gleichung einen mehrfachen linearen Faktor besitzt, wodurch eine einzige Tangente höherer Multiplizität und eine spitze lokale Geometrie entsteht (klassisches Modell y^2=x^3).