## [Modellvollständigkeit](/de/node/63596) Definition Eine Eigenschaft einer prädikatenlogischen Theorie T, wonach jede Einbettung zwischen Modellen von T elementar ist; äquivalent dazu ist, dass jede Formel in T äquivalent zu einer existentiellen Formel ist (bzw. nach Negation zu einer universellen), sodass Wahrheit durch Einbettungen erhalten bleibt. ## Prinzip Prinzip Reduktion beliebiger Formeln auf existentielle Behauptungen: Sind Einbettungen elementar, kann syntaktische Komplexität auf existenzielle Form umgewandelt werden, was den Transfer definierbarer Eigenschaften über Einbettungen ermöglicht. ## Demonstration Demonstration Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper einer festen Charakteristik ist modellvollständig: jede Einbettung eines algebraisch abgeschlossenen Körpers in einen anderen ist elementar, und viele definierbare Bedingungen lassen sich durch existentielle polynomiale Gleichungen ausdrücken. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Modellvollständigkeit fälschlich mit vollständiger Quantorenelimination gleichsetzen; Modellvollständigkeit impliziert nicht, dass jede Formel quantorenfrei ist, daher wäre das Annehmen von Quantorenelimination ohne Gewähr fehlerhaft. ## Konsequenz Konsequenz Es ergibt sich ein stabiles Erhaltungsergebnis: existentielle Folgerungen bestimmen das Erweiterungsverhalten, Modellbegleiter (sofern vorhanden) sind oft modellvollständig, und viele Transferargumente lassen sich auf die Prüfung existentieller Formeln zurückführen. ## Umkehrung Umkehrung Eine modellunvollständige Theorie besitzt Einbettungen zwischen Modellen, die nicht elementar sind; manche Formeln ändern ihren Wahrheitswert unter Einbettungen, sodass existenzielle Formeln nicht ausreichen, alle definierbaren Eigenschaften zu erfassen. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für prädikatenlogische Theorien in einer festen Sprache; Modellvollständigkeit ist eine syntaktisch-semantische Eigenschaft von Theorien, nicht von beliebigen Strukturklassen außerhalb der ersten Ordnung oder ohne festgelegte Sprache. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Nahe an Quantorenelimination, aber strikt schwächer: Quantorenelimination verlangt Äquivalenz zu quantorenfreien Formeln, Modellvollständigkeit nur Äquivalenz zu existentiellen Formeln; unterscheidbar auch von der Vollständigkeit einer Theorie. ## Synthese Synthese Modellvollständigkeit bedeutet, dass Einbettungen alle erstordentlichen Wahrheiten erhalten und dass der theoretische Gehalt durch existentielle Beschreibungen geprüft werden kann; sie vereinfacht modelltheoretische Argumente ohne vollständige Quantorenelimination zu fordern.