##  [Modellkompletion](/de/node/63594) 

 Definition

Eine Modellkompletion von T ist ein Modellbegleiter T* mit der stärkeren Eigenschaft, dass jedes Modell von T als Teilstruktur (nicht nur durch Einbettung) in ein Modell von T* eingebettet wird; äquivalent: T* ist modellvollständig und jedes Modell von T hat eine existenziell abgeschlossene Erweiterung, die als Superstruktur durch Inklusion realisiert ist.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Modellkompletion erhöht das Begleitprinzip, indem sie verlangt, dass existenzielle Abschlüsse durch tatsächliche Teilstrukturinklusion realisiert werden: die Kompletion liefert kanonische Komplettierungen von Modellen von T, in denen erste‑Ordnungstypen soweit wie möglich konsistent mit T aufgelöst werden.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper (ACF) ist die Modellkompletion der Theorie der Körper: jeder Körper ist als Teilkörper in einen algebraisch abgeschlossenen Körper einbettbar, und ACF ist modellvollständig, also ist ACF eine Modellkompletion der Körpertheorie.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu behaupten, ein Modellbegleiter sei automatisch eine Modellkompletion; es gibt Begleiter, die nicht für jedes Modell der Grundtheorie Einbettungen als Teilstrukturen realisieren, daher muss die stärkere Inklusionsbedingung geprüft werden.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Existiert eine Modellkompletion, so bringt sie oft starke strukturelle Kontrolle, etwa Quantorenelimination (in geeigneten Sprachen), eine klare Beschreibung existenziell abgeschlossener Modelle und kanonische Wege, Modelle zu erweitern; dies erleichtert Klassifikation und Entscheidbarkeitsanalysen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Eine Theorie kann einen Modellbegleiter besitzen, der keine Modellkompletion ist: Einbettungen von Modellen von T in Modelle des Begleiters werden dann nicht als Teilstrukturinklusionen realisiert, sodass der Begleiter keine kanonischen Teilstruktur‑Komplettierungen liefert.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Die Existenz einer Modellkompletion ist nicht garantiert und hängt von syntaktischen und semantischen Eigenschaften von T ab; der Begriff setzt eine feste Sprache und Tarski‑Semantik voraus und schließt schwächere Begleiter ohne Teilstrukturinklusionseigenschaft aus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Die zentrale Spannung liegt zwischen der bloßen Forderung nach Modellvollständigkeit und der zusätzlichen geometrisch/algebraischen Forderung, dass Kompletionen Teilstrukturinklusionen herstellen; Autoren verwischen mitunter die Begriffe, weshalb die Form des Einbettens ausdrücklich zu klären ist.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine Modellkompletion ist die stärkste Form eines Modellbegleiters: eine modellvollständige Theorie, die jedes Modell der Ursprungstheorie als Teilstruktur eines Modells der Kompletion realisiert und so kanonische, existenziell abgeschlossene Komplettierungen liefert.