## [Dehomogenisierung](/de/node/63567) Definition Die algebraische Operation, die aus einem homogenen (projektiven) Polynom durch Spezialisierung der Homogenisierungsvariable auf eine von null verschiedene Konstante (häufig 1) ein affines Polynom oder System zurückgewinnt; sie wandelt homogene Gleichungen in projektiven Koordinaten in gewöhnliche Gleichungen in affinen Koordinaten um. ## Prinzip Prinzip Wähle eine projektive Koordinate (die Homogenisierungsvariable), die auf einer gewählten affinen Karte invertierbar ist, und setze sie auf einen festen von null verschiedenen Wert; dadurch wird die projektive Varietät auf eine affine Varietät projiziert und der Skalierungsfreiheitsgrad entfernt. ## Demonstration Demonstration Für ein homogenes Polynom F(x0,x1,...,xn) vom Grad d setzt man x0 = 1 und erhält f(x1,...,xn) = F(1,x1,...,xn). Für ein System, das eine projektive Kurve definiert, liefert die Dehomogenisierung bezüglich x0 ein affinens System, dessen endliche Lösungen den projektiven Lösungen mit x0 ≠ 0 entsprechen; Lösungen mit x0 = 0 liegen im Unendlichen und werden in dieser Karte nicht wiedergefunden. Bei numerischer Nullstellensuche dehomogenisiert man oft ein homogenisiertes System vor der Anwendung affiner Solver, wobei zu beachten ist, dass Vielfachheiten im Unendlichen verloren gehen oder einen Koordinatenwechsel erfordern können. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Das blinde Einsetzen von 1 für die Homogenisierungsvariable ohne Prüfung, welche projektiven Punkte diese Koordinate nicht null haben, kann Lösungen im Unendlichen verbergen; x0 = 0 zu setzen oder einen nicht invertierbaren Wert zu verwenden ergibt unsinnige affine Gleichungen und kann Vielfachheitsinformationen zerstören oder künstliche Entartungen einführen. ## Konsequenz Konsequenz Richtig angewendet liefert die Dehomogenisierung ein affines System, das mit Standardmethoden bearbeitbar ist, reduziert die Dimension des Koordinatenrings um eins und liefert eine Karte der projektiven Varietät; sie kann jedoch Punkte in anderen Projektiv-Karten auslassen und die scheinbare Vielfachheitsstruktur verändern, wenn nicht sorgfältig vorgegangen wird. ## Umkehrung Umkehrung Homogenisierung: Hinzufügen einer Homogenisierungsvariable, um affine Polynome in homogene Formen zu überführen, wodurch projektive Techniken und gradbezogene Konstruktionen (Resultanten, Macaulay-Matrizen) zugänglich werden; Homogenisierung und Dehomogenisierung sind nur bis auf Kartenauswahl und Skalierung zueinander invers. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt nur, wenn die gewählte projektive Koordinate invertierbar ist (in einem Körper oder Ring, in dem die gewählte Konstante eine Einheit ist); erfasst nicht die projektiven Punkte in der Koordinatenhyperfläche, in der die gewählte Variable verschwindet, und erhält Vielfachheiten nicht zwangsläufig ohne zusätzliche lokale Analyse oder Kartenwechsel. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht eine Spannung zwischen der vereinfachenden, lokalen affinen Sicht durch Dehomogenisierung und der globalen, koordinatenfreien projektiven Sicht: Dehomogenisierung erleichtert Berechnungen, opfert aber die gleichmäßige Behandlung von Richtungen im Unendlichen; Kartenauswahl schafft Nichtkanonizität. ## Synthese Synthese Dehomogenisierung ist die kontrollierte Spezialisierung der Homogenisierungskoordinate, um ein affines Repräsentantensystem einer projektiven Gleichung zu erzeugen: sie tauscht globale projektive Invarianz gegen ein konkretes, berechenbares affines Modell ein, wobei Informationsverlust an der gewählten Unendlichkeitshyperfläche und Sensitivität der Vielfachheiten zu beachten sind.