## [Newtonsche Identitäten](/de/node/63499) Definition Eine Sammlung von Gleichungen, die die Potenzsummen der Nullstellen eines Polynoms (s_k = Σ r_i^k) mit den Koeffizienten des Polynoms, ausgedrückt als elementare symmetrische Polynome, verbinden; sie liefern rekursive Formeln zwischen Potenzsummen und elementaren symmetrischen Funktionen. ## Prinzip Prinzip Symmetrische Polynome in den Wurzeln lassen sich in zwei natürlichen Basen ausdrücken — Potenzsummen und elementare symmetrische Polynome — und Newtonsche Identitäten liefern explizite lineare Beziehungen (mit kombinatorischen Koeffizienten) zur Umrechnung zwischen diesen Basen. ## Demonstration Demonstration Für ein quadratisches Polynom x^2 − s x + p mit Wurzeln r1, r2 ergeben die Identitäten s_1 = r1 + r2 = s und s_2 = r1^2 + r2^2 = s^2 − 2p; diese drücken Potenzsummen s_k in Termen der Koeffizienten s und p aus oder umgekehrt. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Durch Division durch ganze Zahlen k, die in den Beziehungen auftauchen, ohne die Charakteristik des Grundrings zu prüfen, entstehen ungültige Schritte in Körpern, deren Charakteristik k teilt; ebenso ist die Anwendung auf unendliche Wurzelsysteme ohne Konvergenzbetrachtung fehlerhaft. ## Konsequenz Konsequenz Ermöglichen die Berechnung von Polynomhöchsten aus Potenzsummen und die Wiederherstellung symmetrischer Invarianten aus momentähnlichen Daten; grundlegend in Eliminationsverfahren, bei Berechnung von Newton-Summen und Beziehungen zwischen symmetrischen Funktionen. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehrung — Potenzsummen in elementare symmetrische Polynome auszudrücken — wird durch dieselbe Familie rekursiver Beziehungen in umgekehrter Richtung gegeben; keine Richtung ist primär, beide sind wechselseitig abhängig. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für Polynome über Ringen, in denen die kombinatorischen ganzzahligen Koeffizienten Sinn machen; über Ringen, deren Charakteristik gewisse ganze Zahlen (z. B. k) teilt, sind besondere Vorsichtsmaßnahmen oder modifizierte Aussagen erforderlich, und bei unendlichen Wurzelsäumen treten analytische Fragen auf. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Steht in Beziehung zu Viètes Formeln, die Koeffizienten direkt als elementare symmetrische Polynome der Wurzeln angeben; Newtonsche Identitäten schlagen die Brücke zwischen Viètes elementarer Perspektive und Potenzsummeninformation, was gelegentlich Unklarheit darüber erzeugt, welche Darstellung natürlicher ist. ## Synthese Synthese Die Newtonschen Identitäten sind die algebraische Brücke zwischen Potenzsummen und elementaren symmetrischen Polynomen: Sie liefern rekursive Formeln, die momentähnliche Wurzelinformationen in Koeffizientendaten und umgekehrt übersetzen, unter Berücksichtigung der arithmetischen Beschränkungen des Grundrings.