##  [Cayley–Hamilton-Satz](/de/node/63497) 

 Definition

Die Aussage, dass jede quadratische Matrix ihr eigenes charakteristisches Polynom erfüllt: Wenn p(λ) = det(λI − A) das charakteristische Polynom einer quadratischen Matrix A ist, dann gilt p(A) = 0 (die Nullmatrix).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Ein mittels Determinante konstruierter Polynom erfasst algebraische Relationen einer Matrix; die Substitution der Matrix in dieses Polynom liefert ein annihilierendes Polynom, sodass das charakteristische Polynom die Matrix annulliert.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für eine 2×2-Matrix A = [[a, b], [c, d]] ist das charakteristische Polynom λ^2 − (a + d)λ + (ad − bc). Ersetzt man λ durch A, ergibt sich A^2 − (Spur A) A + (det A) I = 0, eine explizite Matrixgleichung.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Anwendung des Satzes auf nicht-quadratische Matrizen oder auf quadratische Matrizen ohne Berücksichtigung des Grundrings (z. B. die Annahme, er gelte wortwörtlich über Ringen, in denen Determinanten problematisch sind) führt zu falschen Schlüssen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Stellt sicher, dass das charakteristische Polynom ein annihilierendes Polynom ist und impliziert, dass das minimale Polynom das charakteristische Polynom teilt; grundlegend für Berechnungen von Matrixfunktionen, Herleitungen von Identitäten mit Spur und Determinante sowie für Strukturzerlegungen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehrung — dass jedes annihilierende Polynom ein Vielfaches des charakteristischen Polynoms sein muss — ist insofern falsch, als nicht jedes annihilierende Polynom gleich dem charakteristischen Polynom ist; das minimale Polynom teilt jedoch stets das charakteristische Polynom.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für quadratische Matrizen über kommutativen Ringen oder Körpern, in denen das charakteristische Polynom mittels Determinante definiert ist; Vorsicht bei nichtkommutativen Koeffizientenringen oder fehlender Determinantendefinition.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Steht in Spannung zur Sichtweise des minimalen Polynoms und der Jordan-Form: Cayley–Hamilton liefert einen universellen Annihilator (das charakteristische Polynom), wohingegen das minimale Polynom die kleinste Annihilationsrelation und feinere Struktur erfasst.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Cayley–Hamilton verbindet determinantengestützte spektrale Daten mit algebraischen Relationen von Matrizen: Das charakteristische Polynom, aus Spur und Determinante berechnet, liefert bei Evaluation in die Matrix den Nulloperator und verknüpft Eigenwertinformationen mit dem polynomiellen Funktionalbegriff.