## [Lemma von Burnside](/de/node/63490) Definition Ein Zähllemma, das die Anzahl der verschiedenen Bahnen (Orbits) einer endlichen Menge unter der Wirkung einer endlichen Gruppe dadurch berechnet, dass die Anzahl der Fixpunkte der Gruppenelemente gemittelt wird. ## Prinzip Prinzip Die Anzahl der Bahnen ist der Durchschnitt über die Gruppenelemente der Größe ihrer Fixpunktmengen: |X/G| = (1/|G|) ∑_{g∈G} |Fix(g)|. ## Demonstration Demonstration Zähle Färbungen der Eckpunkte eines Quadrats bis auf Rotationssymmetrien, indem man die Anzahl der von jeder Rotation fixierten Färbungen mittelt (Rotationengruppe des Quadrats). ## Fehlanwendung Fehlanwendung Fixpunktzahlen über eine Menge mitteln, die keine Gruppe ist, oder über eine unendliche Gruppe ohne geeignete Normierung, was zu sinnlosen oder falschen Orbitzahlen führt. ## Konsequenz Konsequenz Bietet eine effektive und oft einfache Methode, verschiedene Konfigurationen unter Symmetrie zu aufzuzählen, indem das Orbitzählen auf Fixpunktberechnungen pro Gruppenelement reduziert wird. ## Umkehrung Umkehrung Man kann das Lemma umkehren, indem man jedes Gruppenelement durch seine Zyklenstruktur beschreibt; Pólya's Theorem verallgemeinert dies, indem es diese Strukturen im Zyklusindex-Polynom kodiert. ## Abgrenzung Abgrenzung Voraussetzung ist eine endliche Gruppenwirkung auf einer endlichen Menge; nicht anwendbar, wenn die Wirkung keine Permutationen sind oder die Orbits ohne weitere Struktur unendlich sind. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung gegenüber Orbit–Stabilisator-Zählmethoden oder Brute-Force-Klassifikation: Burnside reduziert globale Zählung auf lokale Fixpunktprüfungen, während Orbit–Stabilisator auf einzelnen Stabilizern und Orbitgrößen beruht. ## Synthese Synthese Burnsides Lemma verbindet Symmetrie und Zählung, indem es ein globales Enumerationsproblem in einen Durchschnitt lokaler Invarianten umwandelt und so die Grundlage für zyklusindexbasierte Methoden wie Pólyas Satz legt.