## [Wohlordnungsprinzip](/de/node/63484) Definition Die Aussage, dass jede nichtleere Menge positiver Ganzer (oder allgemeiner jede wohlordnungsfähige Menge) ein kleinstes Element bezüglich der üblichen Ordnung besitzt; praktisch formuliert man dies oft für die natürlichen Zahlen: 'jede nichtleere Teilmenge von N hat ein kleinstes Element.' ## Prinzip Prinzip Existenz eines Minimalelements: Die ordnende Idee ist, dass diskrete, wohlgeordnete Bereiche Induktion und Argumente mit minimalen Gegenbeispielen erlauben, weil jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element enthält. ## Demonstration Demonstration Beispielsweise hat eine nichtleere Teilmenge S der natürlichen Zahlen ein kleinstes Element m; dies ist die Grundlage von Beweisen durch minimalen Gegenbeweis: man nimmt das kleinste n, für das die Eigenschaft fehlschlägt, und nutzt dessen Minimalität zur Widerspruchsherstellung. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Das Wohlordnungsprinzip auf partiell geordnete Mengen anwenden, ohne Wohlgründigkeit zu prüfen, oder annehmen, dass jede Teilmenge der reellen Zahlen ein kleinstes Element in der üblichen Ordnung hat — was scheitert, weil die reellen Zahlen nicht wohlgeordnet sind unter <. ## Konsequenz Konsequenz Rechtfertigt Induktion und viele Formen von Abstiegs- und Minimalisierungsargumenten auf N; in Verbindung mit geeigneten mengentheoretischen Annahmen ist es in bestimmten Formulierungen äquivalent zum Auswahlaxiom und liefert strukturelle Existenzsätze. ## Umkehrung Umkehrung Die Verneinung wäre die Existenz einer nichtleeren Menge ohne kleinstes Element im betrachteten Bereich; für N ist das ausgeschlossen, aber in anderen Ordnungen (z. B. Z oder R) können minimale Elemente fehlen und die entsprechenden Argumente versagen. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt so formuliert für die Standardordnung der natürlichen Zahlen und jede wohlgeordnete Menge; es gilt nicht für beliebige partielle Ordnungen oder für Ordnungen, die absteigende Folgen oder dichte Anordnungen wie die reellen Zahlen unter < zulassen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zu Begriffen wie Ordnungendichte und Vollständigkeit: Das Wohlordnungsprinzip betont Diskretheit und das Vorhandensein von Minima, während dichte Ordnungen das Fehlen unmittelbarer Nachfolger und vielfach von Minima betonen. ## Synthese Synthese Das Wohlordnungsprinzip besagt, dass in wohlgeordneten Bereichen jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt; dies stützt Induktion, Beweise mittels minimaler Gegenbeispiele und Abstiegsargumente, während es in dichten oder nicht wohlgegründeten Ordnungen versagt.