##  [Eisensteins Kriterium](/de/node/63480) 

 Definition

Ein hinreichender Irreduzibilitätskriterium für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten: Wenn es ein Prim p gibt, das alle Koeffizienten außer dem Leitkoeffizienten teilt, p^2 den Absolutterm nicht teilt und p den Leitkoeffizienten nicht teilt, dann ist das Polynom über Q irreduzibel.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die Reduktion modulo p liefert eine vereinfachte Struktur; die Divisibilitätsbedingungen erzwingen, dass jede rationale Faktorisierung den p‑Teil der Koeffizienten verletzen würde, also kann keine nichttriviale Faktorisierung in Q[x] existieren.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Betrachte f(x)=x^3+6x^2+9x+3 und p=3: 3 teilt 6,9,3; 3 teilt nicht den Leitkoeffizienten 1; und 3^2=9 teilt nicht den Absolutterm 3. Daher ist f nach Eisensteins Kriterium über Q irreduzibel.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eisenstein anwenden, ohne die p^2‑Bedingung zu prüfen, eine zusammengesetzte Zahl als 'p' verwenden oder übersehen, dass eine lineare Substitution x→x+k den Kriteriumsfall herbeiführen kann; außerdem die Suffizienz mit Notwendigkeit verwechseln—viele irreduzible Polynome erfüllen Eisenstein für kein Prim.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Gibt ein wirkungsvolles und leicht prüfbares hinreichendes Kriterium für Irreduzibilität über Q, das oft nach einer linearen Variablenverschiebung anwendbar ist; wenn anwendbar, liefert es sofortige Schlussfolgerungen und vereinfacht Faktorisierungsaufgaben.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Fehlt ein geeignetes Prim p, so bedeutet das nicht, dass das Polynom reduzibel ist—das Kriterium ist nur einseitig. Man kann jedoch manchmal Eisenstein auf f(x+k) anwenden, um Irreduzibilität zu erkennen, die im ursprünglichen Polynom nicht sichtbar ist.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten (oder in UFDs mit gewähltem Primelement) und liefert hinreichende, keine notwendigen Bedingungen; es deckt nicht Polynome ab, für die kein Prim die Divisibilitätsbedingungen erfüllt, und verlangt das Prüfen von Teilbarkeiten durch Potenzen eines Prims.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Ergänzt Gauss' Lemma und Faktorisierungsalgorithmen: Eisenstein ist ein konkreter, leicht prüfbarer Test, während Gauss eine strukturelle Reduktion auf ganze Koeffizienten erlaubt; Spannungen entstehen, weil viele irreduzible Polynome dem Eisenstein-Kriterium entgehen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eisensteins Kriterium ist ein konkreter, teilbarkeitsbasierter hinreichender Test: Findet man ein Prim mit dem geforderten Teilbarkeitsmuster unter den Koeffizienten, folgt sofort die Irreduzibilität über Q, gegebenenfalls nach einfacher Variablenverschiebung.