##  [Bézoutsche Identität](/de/node/63466) 

 Definition

Die Aussage, dass für beliebige ganze Zahlen a und b, nicht beide null, ganze Zahlen x und y existieren mit ggT(a,b) = ax + by; das heißt, der größte gemeinsame Teiler lässt sich als ganzzahlige Linearkombination von a und b darstellen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Der ggT der beiden Zahlen erzeugt das von ihnen aufgespannte Ideal in Z; der euklidische Algorithmus liefert die Koeffizienten, die den ggT als Linearkombination realisieren, und organisiert die Lösbarkeit zugehöriger diophantischer Gleichungen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Konkretes Beispiel: für a = 30 und b = 21 gilt ggT(30,21) = 3 und man findet ganze x = -2, y = 3 mit 3 = (-2)·30 + 3·21. Die Koeffizienten ergeben sich durch Rücksubstitution im euklidischen Algorithmus.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, die Darstellung sei eindeutig — die Koeffizienten x,y sind nicht eindeutig; anzunehmen, die Identität gelte in Ringen, die keine Hauptidealbereiche sind, ohne zu prüfen, ob das Ideal (a,b) principal ist.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Gibt ein direktes Kriterium für Koprimalität (ggT = 1 genau dann, wenn es x,y mit ax+by=1 gibt), löst lineare diophantische Gleichungen ax+by=c falls der ggT c teilt, und liefert Algorithmen für modulare Inverse.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Wenn ganze x,y mit ax+by = d existieren, dann ist d ein gemeinsamer Teiler von a und b; bei ax+by = 1 sind a und b demzufolge teilerfremd. Der Gegensatz macht deutlich, wie die Existenz einer solchen Kombination Teilbarkeitseigenschaften charakterisiert.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Klassisch für ganze Zahlen formuliert; sie gilt in Hauptidealbereichen, scheitert jedoch in allgemeinen Ringen ohne Principality der Ideale. Sie setzt die übliche ggT‑Theorie und ganze Koeffizienten voraus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen der numerischen Auffassung 'größter' gemeinsamer Teiler und der idealtheoretischen Sicht (Erzeuger des Ideals (a,b)): Bézoutsche Identität verbindet diese Sichtweisen, die in Nicht‑PID jedoch auseinanderfallen können.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Bézout'sche Identität verbindet algorithmische und strukturelle Perspektiven: der euklidische Algorithmus liefert explizite Koeffizienten, die den ggT als Linearkombination darstellen und damit Koprimalität charakterisieren sowie konstruktive Lösungen für lineare diophantische Probleme bereitstellen.