##  [Euklids Lemma](/de/node/63464) 

 Definition

Die Aussage der elementaren Zahlentheorie, dass wenn eine Primzahl p das Produkt ab zweier ganzer Zahlen a und b teilt, dann p a oder p b teilt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Primzahlen sind hinsichtlich der Teilbarkeit unzerlegbar: ein Primteiler eines Produkts muss bereits einen der Faktoren teilen; dies ordnet viele Argumente zu Teilbarkeit und Faktorisierung.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beispiel: p = 3 und 3 teilt 9·4 = 36; da 3 9 teilt, gilt das Lemma. Strukturell: Wenn p ab teilt und p a nicht teilt, so ist ggT(a,p)=1; mit ax+py=1 für geeignete ganze x,y und Multiplikation mit b folgt, dass p b teilt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Das Ergebnis auf eine zusammengesetzte Zahl c anwenden: für ein zusammengesetztes c, das ab teilt, ist es im Allgemeinen falsch, dass c a oder c b teilt; das Lemma in Ringen ohne geeignete Definition von Prim oder ggT anwenden, ohne Voraussetzungen zu prüfen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ist ein entscheidender Schritt beim Beweis der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Z und erlaubt, von Produktteilbarkeit auf Faktorenteilbarkeit zu schließen, was viele Induktionsargumente stützt.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die triviale Umkehrung lautet: wenn p a teilt, dann teilt p ab; wichtig ist jedoch der Gegensatz, dass das Ersetzen von 'prim' durch 'zusammengesetzt' die Aussage zerstört und Gegenbeispiele liefert.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für primäre Elemente in Integritätsbereichen mit einer passenden Primalitätsdefinition; am einfachsten formuliert für Primzahlen in Z. In Ringen, in denen Irreduzible nicht prim sind, gilt es nicht automatisch.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen 'prim' und 'irreduzibel': In manchen Ringen erfüllen irreduzible Elemente nicht das Lemma, wodurch die Unterscheidung zwischen primen Elementen (die Faktorenteilbarkeit erzwingen) und bloßen Irreduziblen entsteht.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Euklids Lemma fasst die wesentliche Teilbarkeitseigenschaft primärer Elemente zusammen: teilt ein Primzahl ein Produkt, so lokalisiert sich die Teilbarkeit auf einen Faktor; dies ist zentral für die Eindeutigkeit der Faktorisierung und für die Überführung von Produktinformation auf Faktoren.