## [Fundamentalsatz der Arithmetik](/de/node/63460) Definition Die Aussage, dass jede ganze Zahl größer als eins als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann und dass diese Zerlegung bis auf die Reihenfolge der Primfaktoren eindeutig ist. ## Prinzip Prinzip Die Zahlen >1 bilden eine multiplikative Struktur, die von Primzahlen als irreduziblen Bausteinen erzeugt wird: jedes zusammengesetzte n zerlegt sich in Primfaktoren auf eine im Wesentlichen eindeutige Weise. ## Demonstration Demonstration Beispiel: 84 = 2^2 × 3 × 7; keine andere Liste von Primzahlen (außer in anderer Reihenfolge) multipliziert zu 84, was die Eindeutigkeit der Zerlegung für diese Zahl zeigt. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu glauben, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung in beliebigen Ringen oder Zahlensystemen gilt; viele Ringe (z. B. bestimmte quadratische Ganzheitsringe) besitzen keine Eindeutigkeit und erlauben verschiedene Zerlegungen in Irreduzible. ## Konsequenz Konsequenz Legt die Grundlage der Teilbarkeitstheorie: größte gemeinsame Teiler, kleinste gemeinsame Vielfache, multiplikative zahlentheoretische Funktionen und zahlreiche Algorithmen der Zahlentheorie beruhen auf der eindeutigen Zerlegung in Z. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehrung hebt Bereiche hervor, in denen Zerlegungen nicht eindeutig sind: dort gehen Prim und Irreduzibel auseinander und klassische arithmetische Eigenschaften versagen, was zu alternativen Konzepten wie der Zerlegung von Idealen führt. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für positive ganze Zahlen größer als eins im Ring der ganzen Zahlen Z; Vorzeichen und Einheiten werden durch einen globalen Einheitfaktor (±1) berücksichtigt. Es gilt nicht ohne weiteres für andere Ringe ohne Eigenschaft eindeutiger Faktorisierung. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung besteht zwischen den Begriffen 'Prim' und 'Irreduzibel' außerhalb von Z: in Z stimmen sie überein, aber in allgemeinen Integritätsbereichen muss ein Irreduzibler nicht prim sein, was konzeptionelle Unterschiede erzeugt. ## Synthese Synthese Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt, dass Primzahlen die multiplikative Struktur der positiven ganzen Zahlen eindeutig erzeugen: jede Zahl >1 zerlegt sich bis auf Reihenfolge in Primfaktoren, ein Resultat, das die klassische Teilbarkeit und zahlentheoretische Methoden begründet.