##  [De-Morgan-Gesetze](/de/node/63447) 

 Definition

Zwei algebraische Regeln, die beschreiben, wie Komplementbildung (logische Negation oder Mengenergänzung) über die binären Operationen Vereinigung und Durchschnitt (bzw. ODER und UND) verteilt: das Komplement der Vereinigung ist der Durchschnitt der Komplemente, und das Komplement des Durchschnitts ist die Vereinigung der Komplemente.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Negation oder Komplement kehrt die Art der binären Verknüpfung um: ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y und ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y; diese strukturelle Umkehr gilt in booleschen Algebren und der Aussagenlogik zwischen ODER und UND unter Negation.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der Mengenlehre: Für A = {1,2}, B = {2,3} in der Grundmenge U = {1,2,3,4} gilt (A ∪ B)^c = {4} und A^c ∩ B^c = {4}. In der Aussagenlogik stimmen die Wahrheitswerte von ¬(P ∨ Q) und (¬P ∧ ¬Q) für alle Belegungen überein, was eine Wahrheitstabelle zeigt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Gesetze anwenden, obwohl kein wohldefiniertes Komplement existiert (z. B. in Strukturen ohne Komplement), das Vertauschen der Operationen vergessen (behaupten, ¬(x ∨ y) = ¬x ∨ ¬y) oder Implikation und Quantoren ohne geeignete Umformung ebenso behandeln.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Sie erlauben systematische Umformungen von Komplementen zur Vereinfachung von Beweisen, Schaltkreisentwürfen oder algebraischen Umformungen; sie sind Grundlage für Normalformumwandlungen und Minimierung in der booleschen Algebra.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehr wäre, Komplement zu verteilen und dabei die Operation beizubehalten (z. B. zu behaupten, (x ∪ y)^c = x^c ∪ y^c); diese Umkehr zerstört die Äquivalenz und führt zu falschen Ausdrücken.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gültig in booleschen Algebren, Potenzmengenalgebren und klassischer Aussagenlogik; sie können in nichtklassischen Logiken (intuitionistisch, parakonsistent) oder in algebraischen Strukturen ohne Komplement bzw. mit nichtklassischen Negationen (fuzzy, mehrwertig) versagen oder angepasst werden müssen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen der Auffassung der Gesetze als rein syntaktische Umformungsregeln und als semantische Äquivalenzen bezüglich Wahrheitsbedingungen; außerdem Spannung zwischen klassischer Negation, bei der die Gesetze exakt gelten, und abgeschwächten Negationen, die Richtung(en) verändern können.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

De Morgansche Gesetze vereinigen Komplement und binäre Operationen durch die Aussage, dass Komplementbildung Vereinigung in Durchschnitt und umgekehrt verwandelt; diese einfachen algebraischen Äquivalenzen werden breit in Mengenlehre, boolescher Algebra und Aussagenlogik zur Umformung und Vereinfachung verwendet.