##  [Idempotenzgesetz](/de/node/63445) 

 Definition

Die Eigenschaft einer Operation oder eines Elements, dass mehrfache Anwendung denselben Effekt hat wie eine einmalige Anwendung. Für eine binäre Operation · bedeutet Idempotenz x·x = x für alle x (oder für ein bestimmtes Element). Für eine unäre Operation f gilt f(f(x)) = f(x).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Wiederholte Anwendung stabilisiert sich nach der ersten Anwendung; die Operation wirkt wie eine Projektion oder Absorption auf ihre Fixpunkte und führt dazu, dass wiederholte Iterationen zu einem einzigen Ergebnis zusammenfallen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Boolesches ODER: a ∨ a = a. Die max-Operation auf einer total geordneten Menge ist idempotent: max(x,x) = x. Projektionsmatrizen P mit P^2 = P sind idempotente lineare Operatoren. Ein Abschlussoperator cl erfüllt cl(cl(X)) = cl(X).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, gewöhnliche Addition oder Multiplikation seien idempotent (1+1 = 1 oder 2·2 = 2) ist falsch. Einen Operator ohne Prüfung als idempotent zu behandeln (z. B. sind manche Mittelwerte nicht idempotent) führt zu falschen Vereinfachungen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Idempotenz vereinfacht wiederholte Ausdrücke, kennzeichnet Projektionen, Halbordnungen und Abschlussoperatoren und führt oft zu Vereinfachungsgesetzen (z. B. Absorption in Verbänden) sowie zu kanonischen Normalformen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Gegenteilige Verhaltensweisen sind Nilpotenz (mehrfache Anwendung führt zu null) oder Involution (Doppelanwendung ergibt die ursprüngliche Größe statt sofortiger Stabilisierung), mit anderen algebraischen Konsequenzen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Zu unterscheiden ist zwischen idempotenten Operationen (die ganze Operation ist idempotent) und idempotenten Elementen (Elemente x mit x·x = x) in einer nicht idempotenten Operation. Idempotenz kann nur für eine Teilmenge von Elementen gelten.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Idempotenz wird manchmal mit Involution verwechselt (f∘f = Identität) oder mit Elementen, die von einem Operator festgehalten werden; Idempotenz bedeutet Stabilität unter Wiederholung, nicht zwangsläufig Invertierbarkeit oder Identitätsverhalten.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Idempotenzgesetz fasst zusammen, dass eine Operation oder bestimmte Elemente unter ihr stabil sind: nach einer Anwendung ändern weitere Anwendungen das Ergebnis nicht mehr, was Projektionen, Halbordnungsstrukturen und Vereinfachungen iterierter Ausdrücke erzeugt.